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Contributi alla teoria delle connessioni. I. Connessioni proiettive: Costruzione al finito, classificazione secondo Klein. (Italian) Zbl 0016.13502
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References:
[1] Ved. p. es.48, p. 162;49, pp. 185-186. (I numeri si riferiscono all’Elenco bibliografico).
[2] 1, p. 389;4, 5, 12, 13, 14, 20; e29, ove la veduta delCartan è formulata in tutta la sua generalità.
[3] 20, p. 318 e seg.
[4] Dal n. 6 in poi useremo più semplicemente 1, 2, ...n quali contrassegni fissi per len coordinate curvilinee. Vedi (10). Non ci varremo nel presente lavoro di coordinate curvilineeomogenee: circa le quali ci limitiamo a rimandare ai lavori di v.Dantzig eSchouten, spec.71, 89, 93 (p. 41),100; ved. anche108.
[5] L’utilità della considerazione deipunti analitici accanto aipunti geometrici è apparsa manifesta sin dai primi lavori sulle connessioni proiettive. (Ved.14, 17). Ma grande la varietà di definizioni e di denominazioni! Ilpunto analitico è stato dettodensità puntuale (56, 61), punto dotato di unpeso (69) opunto quotato (100),pro-vettore controvariante (H.84: con le iniziali H. o B. contrassegniamo i lavori dovuti agli AA. della pres. memoria) e il punto geometrico è stato detto luogo, oposto (spot, Ort) (89, 71), opunto-ideale (92, 108) ocontro-punto (H.84). Le denominazioni qui prescelte hanno forse maggiore probabilità di entrare nell’uso. Già qualche Autore le adotta: ved. p. es.S. Finikoff,97, p. 212.
[6] IC-riferimenti si presentano nel modo più naturale a chi voglia studiare le proprietà proiettive delleX_u inP_N: ved. B.67 e70, p. 35 e seg. e pp. 9-10, ove la nozione è introdotta come particolarizzazione deiB-riferimenti, di cui qui invece si parlerà più oltre (n. 6). Le corrispondenti trasformazioni, caratterizzate dalle (3.6), o dalleC) del n. 7, sono state introdotte dalVeblen:52, pp. 144-146. Ved. anche65, p. 332; B.66, p. 373.
[7] DalCartan (14) sono introdotti e usati gliA-riferimenti più generali; ved. inoltre B.70, pp. 6, 23.
[8] Anche per gliA_0-riferimenti ved.Cartan,14, p. 210; B,70, p. 7. Cfr.56, p. 107 e seg.
[9] IB-riferimenti sono introdotti in B.70, pp. 8, 18; sulle corrispondentiB-trasformazioni già un cenno è in65, p. 352. Vedi anche B.78; e94, pp. 182-183.
[10] La parola « valenza », adottata dav. Dantzig, daSchouten eStruik al luogo di quello che i più chiamano « ordine » di un tensore (ved.71, p. 451;107, p. 7) è assai espressiva e appropriata: basti pensare allasaturazione degli indici.
[11] Anche a proposito dei tensori proiettivi (cfr. (5)) la terminologia finora usata dai differenti Autori è quanto mai varia; non solo, ma gli stessi nomi hanno indicato enti spesso distinti. In un primo tempo si è dettotensore proiettivo (T. Y. Thomas:25, p. 318) un tensoreaffine, invariante per le trasformazioni di una connessione affine che ne conservano le geodetiche. DalVeblen è stato detto tensore proiettivo quello che qui è chiamato D-tensore (48) poi quello che qui vien detto C-tensore proiettivo analitico (52). In lavori recenti il tensore proiettivo analitico vien detto spessoproiettore (71, 74, 89, 108), mentre il tensore proiettivo geometrico, qui definito un po’ più innanzi (n. 7), è stato chiamatoproiettore-ideale (92, 108). Pei due enti sono state usate anche le denominazioni rispettive:pro-affinore, eproiettore (H.84). Nei vari casi si trattava, volta a volta, diC-tensori,D-tensori ed anche di enti soggetti ad altre leggi di trasformazione. Speriamo che la presente formulazione possa apparire abbastanza chiara e completa! La parola « tensore », qui adottata, è già nell’uso in un significato che comprende quelli attribuiti alle paroleaffinore, proiettore, ecc. .... Scegliere una diversa parola pei diversi tipi di tensore (nel senso comunemente inteso), anche soltanto pei principali, è forse una complicazione superflua! Anche su questo punto pensiamo sia opportuna una semplificazione. La parola « peso », per un tensore proiettivo, è qui usata in un significato che è estensione diretta e naturale di quello usuale (ved. per es. H.44). Le denominazioni « eccesso » e « grado » sono state introdotte dalv. Dantzig (71, p. 451). Ricordiamo che pelv. Dantzig le componenti di un tensore sono funzioni omogenee (dello stesso grado) dellen + 1 variabiliomogenee, cui i punti della varietà sono riferiti: il grado del tensore è semplicemente il grado d’omogeneità ora detto. Ma avuto riguardo alle (7.7) l’uso della stessa parola nelle nostre ipotesi (alquanto differenti) appare giustificato. L’eccesso è pelv. Dantzig la differenza fra il grado e la « valenza algebrica » (differenza fra la valenza controvariante e la valenza covariante) del tensore (onde la denominazione): questa relazione è perp=0 — concambiamento di segno della « valenza algebrica »; in modo da dare ai punti analitici (di peso 0), in armonia con la (3.5), il-grado −1 — la nostra (7.6), l’estensione è naturale. Sia l’eccesso che il grado possono considerarsi estensioni di quella che vien detta (51; 107, p. 10)classe di una pseudograndezza, in relazione a una pseudograndezza fondamentale (di classe 1).
[12] Cfr.56, p. 102;107, p. 22.
[13] Ved.48, p. 158; B.70, p. 12. Le stesse considerazioni valgono anche, più in generale, perA-tensori proiettivi, quando però alla trasformazione per questi si associ, con condizioni analoghe alle (6. 1), una trasformazione del riferimento anolonomo locale affine: ved.56, p. 112, o61, I, pp. 200-201.
[14] La questionedell’ (n + 1)-mo differenziale dξ^o, o in particolare (in relazione a unC- oD-riferimento)dell’ (n + 1)-mo parametro, è stata assai discussa: la soluzione che ne diamo, in relazione a unB-riferimento, appare semplice e chiara, mostrando in modo ben esplicito qual’è l’elemento arbitrario di cui abbiamo bisogno per dedurnedξ^0. Una effettiva costruzione di ξ^0 in relazione a unD-riferimento si ha in H.84, pp. 224-225; là l’elemento arbitrario è uno scalare additivo. Ved. anche, pel caso generale (B-riferimento)56, p. 120, e peiC-riferimenti, i lavori diVeblen eWhitehead (52, 57; 55, 65). Ricordiamo che per questi Autori ξ^0 è un parametro indipendente da ξ^1, ξ^2, ... ξ^n; e che le componenti dei tensori proiettivi da essi sono considerati dipendenti, per mezzo di un fattoree^Mξ^0, anche de ξ^0;M si dicel’indice del tensore. Ved. su questo anche B.70, p. 12.
[15] Precisamente, è al n. 20, nei riguardi dellegeodetiche, che ci riuscirà utile non assoggettaredξ^0, a priori, alla condizione (10. 4).
[16] Ved. H.84 (già cit.), pp. 224-225.
[17] Circa la nozione di spazio tangente ved. spec.14, 52, 53, 54, 56, 95 (III),108. Si tratta in fondo di una questione d’interpretazione. Ma appare naturale valersi di quell’elemento concreto, che è lo spazio lineare — proiettivo —delle direzioni diX_n nel puntoP che si considera. (Cfr.52, B.64, B.70). Inteso dunque che questo spazio di direzioni, insieme al puntoP, si pensino dar origine allo spazio proiettivo tangente (quale spaziopuntuale), risultano intantolocalizzabili rispetto alle tangenti alle linee coordinate del sistema curvilineo ξ^r (cioè, riferibili ad esse mediante coordinate) le congiungenti diP agli altri punti fondamentali e unità locali di unA_0-riferimento: ciò rende lecito ripetere nel caso attuale le considerazioni che nel n. 6 hanno condotto aiB-riferimenti, e giustifica quanto svolgeremo al n. 17 circa ladeviazione di una connessione proiettiva. Con questo lo spazio proiettivo tangente non risulta del tutto localizzato rispetto alla varietà, nel senso che unaqualunque famiglia d’iperpiani degli spazi tangenti, non passanti pei punti di contatto, può identificarsi col sistema degli iperpiani fondamentali opposti ai punti di contatto in unA_0-riferimento arbitrariamente assegnato. Una localizzazione completa si può fare in relazione a una data connessione proiettiva: ved.14, 54 e B.70, pp. 18-19.
[18] Una prima applicazione delle vedute qui adottate si può trovare in H.106, p. 9 e seg.
[19] Questi che più innanzi (n. 18) diciamo — onde distinguerli dai « parametri proiettivi », come Γ_μv^λ — «parametri misti » della connessione proiettiva, si presentano nel modo più naturale quando di questa si vuol dare una rappresentazione analitica. Le forme pfaffiane ω_μ^λ con le quali opera, almeno in un primo tempo, ilCartan, sono le Λ_μr^λd¾^r (14, p. 210); loSchouten nei lavori precedenti, quelli fatti in collaborazione colD. v. Dantzig (69, e seg.) si è valso pure generalmente di parametri misti (17, p. 419;34, p. 153;61, 1, p. 197). Ved. anche56: B.64, II, p. 29 e seg.;54, p. 722.
[20] L’osservazione è dovuta alCartan (14, p. 212). Cfr.Schouten,17, p. 421 o34, p. 154;56, 61, ove è posto τ =c (cost. arbitr. ≠ 0); B.70, pp. 17-18; H.84, p. 238. Nella (17.2) e seg. dovremmo, veramente, scrivere Δ_or^i, anzichè Δ_or^s (n. 5): l’indicei riferendosi al sistema proiettivo locale, l’indicer al riferimento curvilineo. Il significato di δ_r^i è questo: l’unità, o lo zero, secondo che, nelledue serie di valori 1 ...n, a_1 ... a_n, i edr prendono valori d’egual posto o di posto differente. La (17.4), come più sotto è precisato nel testo, vale afissare l’omografia II (n. 6), facendola coincidere con l’omografiaT; è questo che consente l’identificazione dei contrassegniijh... edrst....
[21] La nozione dideviazione è introdotta in B.70, p. 16. Esempi di connessioni (o di derivazioni) proiettive che presentanodeviazione non nulla si hanno nelle varie teorie della Relatività proiettiva, ved. ad es.57, 58, 69, 74, 81, 89, 100.
[22] Già dalCartan (14, p. 211) è stato osservato che sono sufficienti a rappresentare la connessione, e in relazione a un riferimento generale ne sono individuate, le forme ω_μ^λ-δ_μ^λω_o^o: le quali hanno per coefficienti proprio le nostreL_μr^λ. Ved. B.64, II, p. 30; B.70, p. 20. Il sistemaL_μr^λ si presenta in modo affatto analogo, anche nei riguardi della formazione deltensore di curvatura (ved. più oltre, form. (22.5)) al sistemaL_tr^s che figura nella teoria degli invarianti di una connessione affine per le trasformazioniche ne conservano il parallelismo delle direzioni. Ved. B.60, pp. 76, 89, 93; B.66, pp. 366, 370, 375. Si può rendere sempre Δ_or^o =0; questo appare dalle (17.7), o a partire dalle rappresentazioni al finito, può ottenersi come è accennato in questo lavoro a fine n. 18. (La condizione si conserva poi soltanto sotto la condizione τA_r^o = ϱ_r log ρ). AlloraL_μr^λ si identifica con Λ_μr^λ: questa via è seguita ad es. in17, p. 421;34, p. 154;56, p. 110.
[23] Cfr.T. Y. Thomas,\(26, 33 \left( {\tau = - \frac{1}{{n + 1}}} \right)\) ;Veblen,48, 52 (τ =1);Schouten, Golab.56, 61; H.80 (τ =c, cost.). Si noti che, per le (17.2), τ è invariante nei cambiamenti delB-riferimento.
[24] Questi parametrinormalizzati sono introdotti in B.70, pp. 19-21. Un altro tipo di parametri normalizzati, esprimibile ad es. così,P_μv^λ=L_μ^λδ_v^r+ \( \frac{1}{n}\delta_\mu^\lambda L_{\nu s}^s \) , era stato introdotto in B.64, III, p. 88, o B.66, p. 375 (ved. anche B.70, p. 21;94, p. 184) in analogia col sistema dei parametri della connessione affine invariante, determinata da una legge di trasporto lineare delle direzioni (B.60, p. 78; B.66, p. 365).
[25] L’impossibilità di determinare, in generale,in modo intrinseco alla connessione i differenziali proiettivi dei tensori è stata variamente enunciata e interpretata. Ved.56, pp. 120-122;61, I, pp. 206-208; B.70, p. 23;71, pp. 423-424; H.84, pp. 245-246;100, p. 67; H.105, p. 122. La via per la quale si è giunti ai sistemi diparametri proiettivi Γ_μv^λ di una connessione proiettiva, e quindi allederivazioni proiettive (n. seg.), non necessariamente legate a una connessione proiettiva vera e propria, non è veramente quella che qui sopra abbiamo adottato. Le ricerche su quelle che ilWeyl ha chiamato le proprietàproiettive di una connessione affine (proprietà invarianti per le trasformazioni che ne conservano le geodetiche) — cioè: su quella che è stata detta lageometria proiettiva dei cammini — (ved.3, 8, 9, 10, 21; 41, B.64, 96) hanno condottoT. Y. Thomas a introdurre, partendo da una connessione affine Γ_st^r, un sistema Π_st^r che ha una differente legge di trasformazione, ma èinvariante nel senso detto sopra: e che egli ha detto sistema dei «coefficienti della connessione proiettiva ». (Ved.22, 23, 24, 25, 32, 59 (ove ilThomsen pel cason=2 ricavaanche una connessione affine proiettivamente invariante);72, 76). Ora è appunto il sistema Π_st^r, di cui subito era apparsa l’importanza fondamentale nella geometria proiettiva dei cammini, che dallo stessoT. Y. Thomas è stato completato in un sistema ∏_st^r di « parametri proiettivi » (nel senso precisato qui sopra nel testo); e ciò allo scopo di render possibile una interpretazioneaffine (n + 1)-dimensionale. Ved.26, 33, 39, H.43, H.46 (ove la teoria diT. Y. Thomas viene estesa e completata);47, 48, 48, 50. Con ulteriori ricerche diVeblen, Weyl, Whitehead ed altri (52, 53, 54, 55, 57; 63, 65, 94) la teoria è andata riavvicinandosi alla sua essenza geometrica, dalle sue origini formali; il processo di riavvicinamento ed unificazione con le primitive teorie diCartan eSchouten si è compiuto poi al suo ritorno in Europa (56, 61; B.70, B.78; H.83, H.84); e un notevole impulso la teoria ha avuto dalle ricerche recenti sulla Relatività proiettiva (69, 74, 75, 77, 87, 88, 89, 90, 91, 100; cfr.57, 58, 68, 81), ricerche guidate — dopo i primi lavori della Scuola diVeblen — dalloSchouten, e basate su un formalismo costruito dav. Dantzig (71, 73, 92), daSchouten stesso edHaantjes (ved., oltre alle opere già citate,108). Dire come siano congegnate tutte queste ricerche e anche soltanto come vi siano introdotte e trattate, col mezzo di « parametri proiettivi », le connessioni, sarebbe assai lungo e oltre tutto superfluo! Ci limitiamo a chiarire il nostro punto di vista: il formalismo dei parametri proiettivi offre alle connessioni proiettive una rappresentazione comoda e anche utile, benchè complicata con l’introduzione di elementi non intrinseci, quale èdξ^0. Ma soprattutto apre la via a generalizzazioni (« derivazione proiettiva ») e ad applicazioni, e sono queste che dànno alla teoria uno scopo. A questo proposito rimandiamo ai nostri lavori: H.80; B.67, 70, 78; H.83, 84, 105. (In H.83, in relazione all’ente studiato — una ipersuperficie di uno spazio proiettivo —dξ^0viene determinato; ciò risulta possibile appunto in quanto l’ente considerato dà luogo a un sistema d’iperpiani negli spazi tangenti (n. 10). Cfr. B.67, 70).
[26] Cfr.14, p. 219; B.70, pp. 30-31; e i lavori diSchouten ev. Dantzig, ove la nozione appare profondamente modificata. Ved. ad es.71, p. 431;100, p. 68.
[27] Ved. loc. cit. (34).
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