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Über gewisse Funktionalbeziehungen. (German) Zbl 0016.16203

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References:
[1] Über eine Methode zur Gewinnung von Funktionalbeziehungen zwischen konfluenten hypergeometrischen Funktionen. Monatshefte f. Math. u. Phys.45 (1936) 31–52. · Zbl 0015.21104
[2] So wurde ein großer Teil der in 1) Über eine Methode zur Gewinnung von Funktionalbeziehungen zwischen konfluenten hypergeometrischen Funktionen. Monatshefte f. Math. u. Phys.45 (1936) 31–52, hergeleiteten Beziehungen mittels des über einen komplexen Weg erstreckten Integrals (2) jener Arbeit gewonnen. · Zbl 0015.21104
[3] Im allgemeinen Falle (3) kannf {\(\mu\)}, {\(\nu\)}(s) als die Hankelsche Transforformierte einer Funktion aufgefaßt werden, die fürt<a und fürt>b verschwindet und im Intervalla gleicht {\(\mu\)} F(t) ist.
[4] Vgl. G. N. Watson, A Treatise on the Theory of Bessel Functions, Cambridge 1922 insbesondere § 16, 13. Dieses Werk wird im folgenden mit B. F. zitiert.
[5] B. F. § 16, 11.
[6] B. F. § 16, 2.
[7] T. J. Bromwich, An Introduction to the Theory of Infinite Series 2d Edition London 1926. § 176 B.
[8] R. Weyrich, Die Zylinderfunktionen und ihre Anwendungen Berlin 1937. Seite 90 Gleichung (1). Dieses Werk wird im folgenden mit W. zitiert. · JFM 63.0329.01
[9] Vgl. auch W. Seite 91.
[10] B. F. § 5, 2.
[11] B. F. § 5, 23 Gleichung (1).
[12] B. F. § 5, 21.
[13] B. F. § 5, 22 Gleichung (5).
[14] B. F. § 12, 13.
[15] B. F. § 13, 2 und 13, 21.
[16] B. F. § 12, 11.
[17] Das ist um so weniger überraschend, als das Ausgangsintegral (5,1) selbst ein Faltungsintegral ist.
[18] B. F. § 13, 24.
[19] B. F. Seite 394.
[20] Vgl. F. Tricomi, Sulla trasformazione e il teorema di reciprocitá di Hankel. Rendiconti Lincei22 (1935) 564–571 insbesondere § 3. · Zbl 0013.39802
[21] K. F. Niessen, A Contribution to the Symbolic Calculus. Phil. Mag. (7)20 (1935) 977–997 Gleichung (I). · Zbl 0013.06101
[22] Anm. 18).
[23] Vgl. z. B. G. Doetsch, Der Faltungssatz in der Theorie der Laplace-Transformation. Annali della R. Scuola Norm. Sup. di Pisa (2)4 (1925) 71–85.
[24] Selbstverständlich kann grundsätzlichjede Integraldarstellung der Zylinderfunktionen auf diese Weise auf die Funktionenf {\(\mu\)}, {\(\nu\)} (s) übertragen werden. Vgl. auch §8 der in Anm. 1) Über eine Methode zur Gewinnung von Funktionalbeziehungen zwischen konfluenten hypergeometrischen Funktionen. Monatshefte f. Math. u. Phys.45 (1936) 31–52. zitierten Arbeit, in der die Sonine-Schläflische Integraldarstellung der Besselschen Funktionen auf die Whittakerschen Funktionen übertragen wird.
[25] W. Seite 71 Gleichung (14).
[26] W. Seite 29 Gleichung (2).
[27] B. F. § 13,6 Gleichung (6).
[28] B. F. § 13,5 Gleichung (1).
[29] Fürn=0 vgl. B. F. § 5,40 Gleichung (7).
[30] Vgl. z. B. C. S. Meijer, Einige Integraldarstellungen für Whittakersche und Besselsche Funktionen. Proc. Kon. Ak. van Wetensch. te Amsterdam37 (1934) 805–812, Gleichung (1). · Zbl 0010.26202
[31] Diese Reihe bildet gewissermaßen ein Analogon zu Gleichung (5,8) der in Anm. 1) Über eine Methode zur Gewinnung von Funktionalbeziehungen zwischen konfluenten hypergeometrischen Funktionen. Monatshefte f. Math. u. Phys.45 (1936) 31–52. zitierten Arbeit. · Zbl 0015.21104
[32] E. T. Whittaker and G. N. Watson, A course of modern Analysis 4th Edition, Cambridge 1927 insbesondere § 16,1. Dieses Werk wird im folgenden mit M. A. zitiert.
[33] M. A. § 16,1.
[34] Vgl. etwa A. Erdélyi, Über einige bestimmte Integrale, in denen die WhittakerschenM k, m Funktionen auftreten. Math. Zeitschr.40 (1936) 693–702. An dieser Stelle (S. 699, Anm. 13) findet sich die Bemerkung, daß der Zusammenhang zwischen denM k, m-Funktionen und den Laguerreschen Polynomen an keiner Stelle der mir bekannten Literatur erwähnt wird. In der Zwischenzeit habe ich feststellen können, daß eine mit (8, 8) gleichbedeutende Formel z. B. angeführt ist in einer Arbeit von P. Humbert, The Confluent Hypergeometric Functions of two Variables. Proc. Roy. Soc. Edinburgh41 (1920/21) 73. · Zbl 0013.06405
[35] M. A. § 17,212.
[36] B. F. § 13,21 Gleichung (3).
[37] M. A. § 15,5 und § 15,6. Vgl. auch E. W. Hobson, The Theory of Spherical and Elliptical Harmonics, Cambridge 1931, Seite 227 ff. Dieses letztere Werk wird im folgenden mit H. zitiert.
[38] Diese Gleichungen gelten übrigens auch bei komplexen Werten dieser Parameter, wenn die erwähnten Beschränkungen entsprechend abgeändert werden.
[39] Vgl. H. Kapitel VI.
[40] H. Seite 227 Gleichung (55), in der nochn=0 zu setzen ist.
[41] H. § 166 Gleichung (109).
[42] H. Seite 245 ff.
[43] T. M. Mac Robert, Derivation of Legendre Function Formulae from Bessel Function Formulae. Phil. Mag. (7)21 (1936) 697–703. · JFM 62.1227.05
[44] l. c. Vgl. G. N. Watson, A Treatise on the Theory of Bessel Functions, Cambridge 1922 insbesondere § 16, 13. Dieses Werk wird im folgenden mit B. F. zitiert. Gleichung (2).
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