Representability of Lie algebras and Lie groups by matrices. (English) Zbl 0016.24402

Birkhoff, Garrett

Ann. Math. (2) 38, 526-532 (1937).

1. Jede Liesche Algebra (Infinitesimalgruppe) \(L\) kann in einen assoziativen Ring (und zwar in eine Algebra mit unendlicher Basis) so eingebettet werden, daß \([xy] = xy - yx\) wird.
2. Alle möglichen kleinsten Ringe, in denen eine solche Einbettung möglich ist, können aus einem einzigen solchen Ring, der eindeutig durch \(L\) bestimmt ist, durch Faktorgruppenbildung erhalten werden.
3. Eine nilpotente Liesche Algebra (Infinitesimalgruppe vom Range Null in der alten Bezeichnung), d. h. eine solche, in welchem jeder Klammerausdruck \([x[yz]\ldots]\) von genügend großer Länge gleich Null ist, ist in eine assoziative Algebra mit endlicher Basis einbettbar, also durch Matrizes treu darstellbar.
4. Ist insbesondere der Grundkörper der reelle Zahlkörper, so erzeugen diese Matrizes eine Liesche Gruppe, die mit einem Cartesischen Raum homöomorph ist.

Reviewer: B. L. van der Waerden (Leipzig)

MSC:

17B35	Universal enveloping (super)algebras
16S30	Universal enveloping algebras of Lie algebras
17B30	Solvable, nilpotent (super)algebras

Keywords:

universal enveloping algebra; Lie algebras; Lie groups