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On the application of differential-geometric methods on the investigation of covering surfaces. (Über die Anwendung differentialgeometrischer Methoden zur Untersuchung von Überlagerungsflächen.) (German) Zbl 0017.03604
Acta Soc. Sci. Fennicae, N. Ser. A 2, No. 6, 1-17 (1937).
Die bisherige metrisch-topologische Ahlforssche Theorie der Überlagerungsflächen stützte sich in ihrem metrischen Teil für Beschreibung und Schlüsse auf Überdeckungsmessungen mit Hilfe von Längen und Flächeninhalten, indem die Metrik der (geschlossenen) Grundfläche \(W_0\), mit der Charakteristik \(\rho_0\) auf die Überlagerungsfläche \(W\) übertragen wurde [vgl. L. V. Ahlfors, Acta Math. 65, 157–194 (1935; JFM 61.0365.03; Zbl 0012.17204)]. In dieser Arbeit nun verankert der Verfasser seine Betrachtungen viel tiefer bei den klassischen Begriffsbildungen, der Differentialgeometrie, indem er von einer Riemannschen Metrik \(ds^2=\lambda^2|d\omega|^2\) auf der Grundfläche \(W_0\), ausgehend die Gaußsche Krümmung \(K\) und den geodätischen Kontingenzwinkel \(\tau\) heranzieht (für eine feste Kurve sei \(\theta\) der Winkel der Tangente mit einer festen Richtung und \(n\) die Normale nach rechts; dann ist
\[ K=-\frac{\Delta\log\lambda}{\lambda^2}\quad\text{und}\quad d\tau=d\theta + \frac{\partial}{\partial n}\log\lambda ds). \]
Daneben tritt die auf Massenbelegungen von \(W_0\) als additive Mengenfunktionen gestützte potentialtheoretische Betrachtungsweise, die zuerst von O. Frostman mit Erfolg in die Wertverteilungslehre hereingenommen [8. Skand. Mat.-Kongr., 392–396 (1935; JFM 61.1151.01; Zbl 0012.08001)] und dann von L. V. Ahlfors selbst zu einer Neufassung der Methoden der Wertverteilungslehre ausgeweitet wurde [Soc. Sci. Fennica, Comment. Phys.-Math. 8, No. 10, 1–14 (1935; JFM 61.0334.03; Zbl 0011.25903)].
In einem ersten Teil werden die potentialtheoretischen Hilfsmittel zusammengestellt. Der Hauptteil (§2) betrifft berandete Überlagerungsflächen. Zur Riemannschen Metrik (wie oben) liefert bei einfach zusammenhängenden Gebieten \(\Omega\) mit Rand \(\Gamma\) die Greensche Integraltransformation, angewandt für das Funktionenpaar \(1, \lambda\), die Gauß-Bonnetsche Integralformel, die dann mittels Triangulation additiv auf allgemeinere Gebiete (berandete Überlagerungsflächen \(W\) von \(W_0\)) ausgedehnt wird; dabei kommen die mit der Dreiecksteilung stets verquickten Anzahlen herein (Ecken, Kanten, Dreiecke) und die daraus gewonnene Charakteristik (\(\rho\) von \(W\), \(\rho_0\) von \(W_0\)). Nun faßt der Verfasser die differentialgeometrischen Formeln vom potentialtheoretischen Gesichtspunkt aus ins Auge und nimmt sie zur Grundlage für eine Massenbelegung \(\kappa(\Omega) - \rho_0 S_0 (\Omega)\) und das zugehörige Potential \(p\); dabei ist
\[ \kappa(\Omega)=-\frac{1}{2\pi}\int_\Omega\int Kd\omega \]
die curvatura integra von \(\Omega\), \(\kappa(W_0) = 2\), und \(S_0\) eine Normalbelegung von \(W_0\) mit stetiger Dichte und der Gesamtmasse 1. Dann gilt als Kernsatz die Gleichung
\[ \rho_0 S_0(W)=\rho-n_1+\frac{1}{2\pi}\int_T\left(d\tau+\frac{\partial p}{\partial n}ds\right) \]
(\(n_1\) ist die Summe aller Verzweigungsordnungen der Windungspunkte in \(W\)). Dieser Satz wird zunächst für eine reguläre Metrik bewiesen, dann aber auf eine singularitätenbehaftete Metrik ausgedehnt, wozu \(W_0\) an \(q\) Punkten \(a_1,\ldots, a_q\) punktiert wird; dies führt zur Theorie der Ausnahmewerte, sobald später der Übergang zur offenen Überlagerungsflächen vorgenommen wird. Das geschieht in §3 mit Hilfe einer ausschöpfenden Folge berandeter Teilflächen, wobei in schon länger bekannter Weise die Hilfsgrößen der Wertverteilungslehre (Charakteristik \(T\), Anzahl- und Schmiegungsfunktionen) durch den Integrationsprozess \(\int \ldots d\log r\) zustande kommen und die obigen differentialgeometrischen Formeln, im wesentlichen also der Gauß-Bonnetsche Satz, den zweiten Hauptsatz der Wertverteilungslehre nach sich ziehen. Zum Schluß gewinnt der Verfasser auch noch seine Scheibensätze verallgemeinert auf seinem neubegründeten Wege.

MSC:
53Cxx Global differential geometry
20H05 Unimodular groups, congruence subgroups (group-theoretic aspects)
20H10 Fuchsian groups and their generalizations (group-theoretic aspects)
30Dxx Entire and meromorphic functions of one complex variable, and related topics
31Axx Two-dimensional potential theory