×

zbMATH — the first resource for mathematics

Zur aufrechten Ellipsenbewegung des Raumes. (Über symmetrische Schrotungen. III.). (German) Zbl 0017.08204

Keywords:
Geometry
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI
References:
[1] ”Sur le déplacement d’une figure invariable”, Comptes rendus Paris92 (1881) 118–121. Eingehendere Untersuchungen über diese Bewegung finden sich bei A. Mannheim, Rend. Circ. Mat. di Palermo3 (1889) 131–144, und A. Grünwald, Z. Math. Phys.54 (1907) 154–220. Die Bewegung einer Geraden, deren sämtliche Punkte Ellipsen beschreiben, hat A. Mannheim bereits in Comptes rendus Paris76 (1873) 635–638, und Bull. soc. math. France1 (1873) 106, ausführlich behandelt.
[2] S. etwa K. Mack, Geometrie der Getriebe, Berlin und Wien 1931, § 6, oder A. Mannheim, Géométrie cinématique, Paris 1894, S. 9–11.
[3] A. Grünwald, a. a. O.., bezeichnet die allgemeine Ellipsenbewegung als”Darbouxsche Umschwungsbewegung” und den in Rede stehenden Sonderfall als ”vollkommen steilen Darbouxschen Umschwung”. Die im Text vorgeschlagene Benennung soll daran erinnern, daß in diesem Fall die geradlinigen Bahnen der Bewegung mit der lotrechten Geradenz zusammenfallen. – Auch A. Schoenflies, Math. Ann.40 (1892) 327, Fußn., und Josef Grünwald, Monatsh. Math. Phys.17 (1906) 134, erwähnen diesen Sonderfall der Darbouxschen Bewegung.
[4] S. die in Monatsh. Math. Phys.45 (1937) erschienenen Arbeiten des Verfassers: ”Über Fußpunktkurven von Regelflächen und eine besondere Klasse von Raumbewegungen (Über symmetrische Schrotungen I)” und ”Zur Bricardschen Bewegung, deren sämtliche Bahnkurver auf Kugeln liegen (Über symmetrische Schrotungen II)”. Wir verweisen auf diese Arbeiten kurz mit ”S S I” bzw. S S II”.
[5] S. etwa E. Müller-J. Krames, ”Konstruktive Behandlung der Regelflächen”, Leipzig und Wien 1931, Nr. 43. Dieses Buch soll hier mit ”R” zitiert werden.
[6] Für die allgemeine Ellipsenbewegung des Raumes gilt dies jedoch nicht. Wohl hat aber dereninverse Bewegung ebenfalls die Eigenschaft, daß bei ihr jede Ebene einen Drehkegel umhüllt. Diese inverse Bewegung wurde von A. Grünwald, a. a. O., nicht ganz zutreffend ”Mannheimscher Umschwung” genannt. Allerdings wurde sie von A. Mannheim, Comptes rendus Paris110 (1890) 272; J. Éc. Polyt.60 (1890) 75–88, erstmalig ausführlich untersucht; die Tatsache, daß sie die einzige Bewegung ist, bei der alle Ebenen des bewegten Systems Kegeln (und zwar Drehkegeln) umhüllen, hat aber schon viel früher G. Darboux, a. a. O., erkannt.
[7] Gleiches gilt auch für die allgemeine Ellipsenbewegung des Raumes. Siehe etwa A. Mannheim, Comptes rendus Paris76 (1873) 638, Fußn. 2; A. Schoenflies, Geometrie der Bewegung, Leipzig 1886, S. 189, sowie G. Koenigs, Leçons de cinématique (avec notes par M. G. Darboux), Paris 1897, S. 359). – Obiges Ergebnis stimmt mit ”S S I”, Satz 9, nicht wörtlich überein, weil die isotropen Fernerzeugenden des Plückerschen Konoides, jede doppelt gezählt, an den Fußpunktkurven dieser Fläche teilnehmen (”R”, Nr. 35, Satz 4).
[8] Zieht man auch nullteilige Flächen {\(\Theta\)} in Betracht und nimmt mane 0 als isotrope Gerade (in einer zuz parallelen Ebene) an, so erhält man die Fläche der isotropen Biplanaren der kubischen Parabeld. Die Doppelkurve dieser Fläche ist gleichfalls ein reeller gerader kubischer Kreis und dieser ist zugleich die ”Brennpunktskurve” vond, d. i. der Ort der Brennpunkte aller Schmiegungsparabeln der zud gehörigen Torse dritter Klasse. Vgl. W. Wirtinger, S.-B. Akad. Wien, math.-nat. Kl. (II)94 (1886) 302–309.
[9] Übrigens gelten auch folgende Sätze:a) Alle Bisekanten eines geraden kubischen Kreises k, die von dessen Asymptote a gleiche Normalabstände haben, sind auch gegen a gleich geneigt. b) Alle Bisekanten einer solchen Kurve, die mit a gleiche Winkel bilden, haben auch von a gleiche Normalabstände. c) Die von solchen Bisekanten erfüllten Regelflächen sind stets Bahnflächen vierten Grades einer aufrechten Ellipsenbewegung. Wegen des Beweises der Sätzea) undb) siehe meinen Aufsatz ”Sur une propriété remarquable du cercle cubique droit”, Mathesis, Brüssel51 (1937) 39–41.
[10] Die geschlossene schiefe Fläche {\(\Theta\)} erwähnen in anderem Zusammenhang R. Bricard, Liouville J. (5)4 (1898) 436, 446 (vgl. ”S S I”, Fußn. 13), und E. Weinnoldt, ”Kinematische Erzeugung von Regelflächen 4. Ordnung”, Z. Math. Phys.52 (1905) 299–330, insbesondere Fig. 6d, ohne deren Erzeugung durch aufrechte Ellipsenbewegung zu erkennen. Wir kommen auf diese Arbeiten noch zurück. Wegen einer Darstellung der geschlossenen schiefen und der geraden offenen Fläche {\(\Theta\)} s. auch die in Fußn. 5 erwähnte Arbeit, Fig. 3 u. 4.
[11] Für die durch ebene Konchoidenbewegung erzeugbaren Regelflächen vierten Grades gibt E. N. Blake, Amer. Journ. of Math.22 (1900) 148, die [im wesentlichen mit (7) übereinstimmende] Gleichung an. Er betrachtet aber bloß die zurxy-Ebene parallelen ebenen Schnitte dieser Flächen. – Der Satz 4 ist bloß ein Sonderfall eines allgemeineren Satzes, der in einer folgenden Arbeit (s. Fußn. 5) bewiesen wird. · JFM 31.0684.01
[12] S. etwa H. Wieleitner, Spezielle ebene Kurven, Leipzig 1908, Nr. 58.
[13] Vgl. A. Mannheim, Géométrie cinématique, Paris 1894, S. 13.
[14] E. Keraval, ”Surfaces partiellement cylindroides”, Nouv. ann. (4) 10 (1910), S. 49–83, 529–568. Es finden sich dort allgemeine Untersuchungen über Regelflächen mitebenen Fußpunktkurven. Aus den Ergebnissen dieser Arbeit gewinnt man sofort auf Grund von ”S S I”, insbesondere Satz 7, allesymmetrischen Schrotungen, die ebene Bahnkurven enthalten.
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. It attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming the completeness or perfect precision of the matching.