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Diophantische Gleichungen. (German) Zbl 0018.29302
Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 5, No. 4. Berlin: Julius Springer. 130 S. (1938).
Der T. Nagellsche Bericht über Diophantische Gleichungen höheren Grades [L’analyse indéterminée de degré supérieur. Mém. Sci. Math. 39. Paris: Gauthier-Villars (1929; JFM 55.0712.02)] ist durch die Ergebnisse der letzten Jahre überholt worden, und es fehlte bisher eine zusammenfassende Darstellung der neuen Resultate. Diese Lücke füllt Verf. jetzt aus. In leicht lesbarer und interessanter Form stellt er den augenblicklichen Zustand des Gebietes dar und berücksichtigt dabei auch die linearen, multilinearen und quadratischen Gleichungen. Die ganze zweite Hälfte betrifft jedoch die rationalen und ganzzahligen Punkte auf algebraischen Kurven höherer Ordnung; dabei werden u. a. 16 Seiten den Thue-Siegelschen Methoden gewidmet. An vielen Stellen skizziert Verf. die Beweise, was den Nutzen erhöht. Den Abschluß bildet ein 8 Seiten langes Literaturverzeichnis.
Inhaltsverzeichnis: Einleitung. Kap. 1. Lineare Gleichungen. §1. Systeme homogener linearer Gleichungen. §2. Systeme inhomogener linearer Gleichungen. §3. Transformation von linearen Gleichungssystemen. Elementarteiler.
Kap. 2. Gleichungen, die in einigen Unbekannten linear sind. §1. Lösbarkeitskriterien für bilineare und multilineare Gleichungen. §2. Allgemeine Lösungen gewisser Determinantengleichungen und der bilinearen Gleichung. §3. Allgemeinere Sätze über die ganzzahlige Lösbarkeit von Gleichungen, die in einigen Unbekannten linear sind.
Kap. 3. Quadratische Gleichungen. §1. Homogene quadratische Gleichungen. §2. Inhomogene binäre quadratische Gleichungen. §3. Inhomogene quadratische Gleichungen in mehr als zwei Unbekannten.
Kap. 4. Multiplikative Gleichungen. §1. Systeme von Gleichungen der Gestalt
\[ A_ix_1^{a_{i1}} x_2^{a_{i2}}\cdots x_K^{a_{iK}}= B_iy_1^{b_{i1}} y_2^{b_{i2}}\cdots y_L^{a_{iL}}\qquad (i = 1, 2 ,\ldots , M). \]
§2. Gleichungen der Gestalt: Zerlegbare Form \(=\) Konstante. §3. Gleichungen der Gestalt \(f(x_1, \ldots, x_n) = hy_1^{c_1}\cdots y_m^{c_m}\), wo \(f\) eine zerlegbare Form ist.
Kap. 5. Rationale Punkte auf algebraischen Kurven. §1. Kurven vom Geschlechte Null. §2. Kurven vom Geschlechte Eins. §3. Kurven vom Geschlechte \(> 1\).
Kap. 6. Punkte mit ganzzahligen Koordinaten auf algebraischen Gebilden, insbesondere ebenen Kurven. §1. Der Satz von Runge. §2. Die Thue-Siegelschen Sätze. §3. Die Darstellbarkeit ganzer Zahlen durch gewisse besondere Klassen binärer Formen. §4. Eine \(p\)-adische Methode. Anwendung auf die Gleichung \(N(\alpha x + \beta y + \gamma z) = h\).
{A reprint has been published by Chelsea Pub. Co. in 1950.}

MSC:
11Dxx Diophantine equations
11-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to number theory
11D04 Linear Diophantine equations
11D09 Quadratic and bilinear Diophantine equations
11D25 Cubic and quartic Diophantine equations
11D57 Multiplicative and norm form equations
11D85 Representation problems
11E25 Sums of squares and representations by other particular quadratic forms
11G30 Curves of arbitrary genus or genus \(\ne 1\) over global fields
14G05 Rational points
14G25 Global ground fields in algebraic geometry
14H25 Arithmetic ground fields for curves
Citations:
JFM 55.0712.02