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Sur les équations diophantiennes liées aux unités d’un corps de nombre algébriques fini. (French) Zbl 0019.00303
In der vorliegenden Arbeit werden Untersuchungen von Th. Skolem über die Darstellung von Zahlen durch zerlegbare Formen im Zusammenhang mit der Theorie der algebraischen Einheiten und der \(p\)-adischen Zahlen verallgemeinert und weitergeführt (s. das letzte Kapitel von Th. Skolem [Diophantische Gleichungen. Berlin: Springer (1938; Zbl 0018.29302)], wo auch die früheren Arbeiten des Verf. besprochen werden).
Unter \(H_p\), werde eine algebraisch abgeschlossene Erweiterung des Körpers \(R_p\) der \(p\)-adischen Zahlen verstanden; die wie üblich durch \([p]_p=1/p\) normierte Bewertung \(| x|_p\) von \(R_p\) werde in \(H_p\) fortgesetzt. Alsdann sei \(X^n\) der \(n\)-dimensionaie Raum aller Punkte \((x_1,\ldots, x_n)\), wo die Koordinaten in \(H_p\) liegen und wo im Raum eine Metrik etwa durch
\(\mathrm{Dist}(a',a'') =\sum_{h=1}^n | a'_h -a''_h|_p\) definiert ist.
Das erste Kapitel handelt von in einem Punkt \(A\): \((a_1, \ldots, a_n)\) von \(X^n\) algebroiden Mannigfaltigkeiten (kurz A.M.), d. h. der Gesamtheit aller Nullpunkte eines Ideals von Potenzreihen \[ \sum_{h_1=0}^\infty\cdots \sum_{h_n=0}^\infty c_{h_1\cdots h_n} (x_1-a_1)^{h_1}\cdots (x_n-a_n)^{h_n} \]
mit Koeffizienten aus \(H_p\), die in einer Umgebung von \(A\) konvergieren. Der Verf. leitet ein \(p\)-adisches Analogon zur Formel und zum Lemma von Weierstraß her und zeigt, daß die Punkte einer irreduziblen (d. h. durch ein Primideal definierten) A.M. durch endlich viele Weierstraßelemente gegeben werden wie im komplexen Fall (s. Skolem [loc. cit.] und W. Rückert [Math. Ann. 107, 259–281 (1932; Zbl 0005.09802)]).
Im zweiten Kapitel wird der Begriff der \(\mu\)-Mannigfaltigkeit (kurz \(\mu\)-M.) der Dimension \(r\) eingeführt; das ist die Gesamtheit aller Punkte \(X\): \((x_1, \ldots, x_n)\) in \(X^n\) der Form \[ x_j=q_j a_{j1}^{\nu 1}\dots q_j a_{jr}^{\nu r}, \] wo die \(q_j\neq 0\) sind, die \(p\)-adischen Logarithmen \(\log a_{ji}\) existieren, genügend klein sind und eine Matrix \((\log a_{ji})\) vom Rang \(r\) haben, und die \(y_i\) alle genügend kleinen Zahlen aus \(H_p\), durchlaufen. Verf. untersucht den Durchschnitt einer \(\mu\)-M. mit einer A.M. und spezieller einer algebraischen M. Diese Resultate wendet er an auf die Abelschen Gruppen \(\Gamma\) von Punkten \((x_1, \ldots, x_n)\) mit algebraischen Koordinaten \(\neq 0\); dabei wird das Produkt definiert durch \[ (x_1, \ldots, x_n)(x'_1, \ldots, x'_n)) = (x_1x'_1, \ldots, x_nx'_n). \]
Sei \(\Gamma\) vom Rang \(r\), d. h. bestehe seine Basis aus \(r\) Elementen unendlicher und endlich vielen endlicher Ordnung. Wählt man dann die Primzahl \(p\) geeignet, so gibt es eine Untergruppe \(\Gamma^*\) endlichen Indexes von \(\Gamma\) und eine \(\mu\)-M. \(M\) der Dimension \(r\), so daß alle Elemente von \(\Gamma^*\) erhalten werden, wenn man die Exponenten \(y_1, \ldots, y_r)\) der Elemente von \(X\) die ganzen rationalen Zahlen durchlaufen läßt. Aus den Ergebnissen über A.M. und \(\mu\)-M. folgt jetzt der wichtige Satz:
,,Die Abelsche Gruppe \(\Gamma\) vom Range \(r\) habe mit der durch die Gleichungen \[ F_h(x_1, \ldots, x_n)=0\qquad h=1,2,\ldots, s' \] mit algebraischen Koeffizienten definierten algebraischen Mannigfaltigkeit der Dimension \(s\) einen Durchschnitt \(E\) aus unendlich vielen Punkten. Zu jeder unendlichen Teilmenge \(E'\) von \(E\) gibt es dann eine Untergruppe \(\gamma\) von \(\Gamma\) mit folgenden Eigenschaften: 1. Wenigstens eine Restklasse \(\Gamma/\gamma\) enthält eine unendliche Teilmenge von \(E'\). 2. Sei \(\sigma = s + r\). Zwischen \(\sigma\) Koordinaten \(x_{i_1},\ldots, x_{i_\sigma}\) jedes Elements \((x_1, \ldots, x_n)\) von \(\gamma\) besteht die Gleichung \[ x_{q_1}^{N_1}\cdots x_{q_\sigma}^{N_\sigma}=1, \] wo die Exponenten allein von den Indizes \(q\) abhängen, ganz rational und nicht alle Null sind.”
Im letzten Kapitel werden Systeme Diophantischer Gleichungen
\[ \mathrm{Norm}(X_1\omega_1+\ldots+X_n\omega_n) =\mp1,\tag{1} \]
\[ F_j(X_1, \ldots, X_n) = 0\qquad (j=1, 2, \ldots, m)\tag{2} \] in ganzen rationalen Unbekannten \(X_1, \ldots, X_n\) betrachtet; dabei ist \(\omega_1,\ldots, \omega_n\) die Basis eines endlichen algebraischen Zahlkörpers \(K\) vom Grad \(n\), und die \(F_j\) sind Polynome mit rationalen Koeffizienten. Von den Konjugierten zu \(K\) seien \(r_1\) reell, \(2r_2\) komplex konjugiert, und es werde \(r=r_1 + r_2 - 1\) gesetzt. Sei die durch (1) und (2) bestimmte algebraische M. von der Dimension \(s\). Jeder Lösung dieser Gleichungen entspricht eineindeutig eine Einheit \[ \varepsilon=X_1\omega_1+\ldots+X_n\omega_n \]
von \(K\) mit ihren Konjugierten. Sei \(E\) die als unendlich angenommene Menge aller Einheiten \(\varepsilon\) die (1) und (2) genügen. Aus dem obigen Satz über Gruppen folgt dann:
,,Zu jeder unendlichen Teilmenge \(E'\) von \(E\) gibt es eine Untergruppe \(\gamma\) der Gruppe \(\Gamma\) aller Einheiten von \(K\) mit folgenden Eigenschaften: 1. In wenigstens einer Restklasse von \(\Gamma/\gamma\) liegen unendlich viele Elemente von \(E'\). 2. Sei \(\sigma = r + s\). Zwischen den Konjugierten \(\varepsilon^{(q_1)}, \ldots, \varepsilon^(q_\sigma)\) jeder Einheit aus \(\gamma\) besteht dann die Relation \[ \varepsilon^{(q_1)^{N_1}}\cdots \varepsilon^{(q_\sigma)^{N_\sigma}}=1, \]
wo die Exponenten \(N\) allein von den Indizes \(q\) abhängen, ganz rational und nicht alle Null sind.”
Um diesen Satz anzuwenden, kann man einmal spezielle Annahmen über die Galois gruppe \(G\) von \(K\) machen; dann ergibt sich u. a.:
,,Ist \(K\) vom Primzahlgrad oder \(G\) die symmetrische Gruppe, so liegen höchstens endlich viele Einheiten von \(K\) in einem Modul der Dimension \(\leq n - r\).”
Weiter kann man die Mannigfaltigkeit spezialisieren, in der unendlich viele Einheiten liegen sollen, etwa annehmen, daß \(K\) durch Adjunktion der linear unabhängigen Zahlen \(\alpha_1,\ldots, \alpha_{k-1}\) zum Körper der rationalen Zahlen entsteht, und dann die Einheiten im Modul \(M = [1, \alpha_1,\ldots, \alpha_{k-1}]\) betrachten. Dann folgt z. B.:
,,Ist \(h=2\), \(K\) nicht total-reell, so liegen in \(M\) höchstens endlich viele Einheiten von \(K\)” (Spezialfall des Thueschen Satzes, s. Skolem, loc. cit.).
,,Für \(h=3\) liegen dann und nur dann unendlich viele Einheiten von \(K\) in \(M = [1, \alpha_1, \alpha_2]\), wenn \(M\) zwei Zahlen \(\varphi\) und \(\psi\) enthält, so daß \(\varphi\) eine Einheit von \(K\) und \(\psi/\varphi\) eine reell-quadratische Irrationalzahl ist.”
Hat speziell \(K\) zwei Paare komplex konjugierter Körper, so trifft dies nie zu. In diesem Fall hat die Ungleichung \[ | X+Y\alpha_1+Z\alpha_2| < \text{const.} \cdot\{| X|+| Y| +| Z|\}^{-(s-1)} \]
höchstens endlich viele Lösungen.

MSC:
11D57 Multiplicative and norm form equations
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References:
[1] A. Thue, “ Journ. für Math. ”, Bd. 135 (1909).
[2] C. Siegel, “ Math. Zeit. ”, Bd. 10 (1921).
[3] T. Skolem, “ Math. Annal ”, Bd. 111 (1936).
[4] “ C. R. ”, t. 202, p. 2117, Juin 1936; t. 204, p. 942, Mars 1937; t. 205, p. 943, November 1937.
[5] Pour leurr démonstration, Cf.Chevalley, “ Thèse ”, Paris, 1933,Sur la théorie du corps de classe, chap. V, p. 407–423, et “ Jouru. of the faculty of sciences ”, Tokyo, 1933.
[6] Cf. Van derWaerden,Moderne Algebra, Bd. 1, § 60.
[7] Le théorème (1.3) est valable plus généralement pour toute série d’ éléments d’un espace vectoriel normé quelconque lorsque la série estcommutativement convergente e. a. d. qu’elle reste convergente après un changement quelconque de l’ordre de ses termes (cf.Banach,Opérations linéaires, p. 240). Les sériesp-adiques sont un exemple de séries qui peuvent être commutativement convergentes sans être absolument convergentes.
[8] W. Buckert, “ Math. Annal. ”, Bd. 107 (1932), p. 259–281.
[9] Voir pour une démonstration directe Th.Skolem, “ Math. Ann. ”, 111, 1936, p. 399. Mais le lemme deWeierstrass ne nous suffirait pas pour obtenir la représentation paramétrique dont nous avons besoin pour des variétés algébroïdes.
[10] Une variété algébriqueW est dite irréductible quand son idéal propre (W) dans l’anneau des polynômes enx 1,...,x n, est premier. C’est une irréductibilité globale, différente de l’irréductibilité locale définie au chapitre I pour toute variété algébroïde. La dimensions deW, définie algébriquement à partir de cet idéal de polynômes, coïncide en tout point avec la dimension définie localement comme au chap. I. On démontre qu’il existe une représentation, comme fonctions algébriques des parametres, des coordonnées de tous les points deW étrangers à une vraie sous-variété de W ou comme on dit du point général deW. (Cf. Van derWaerden,Moderne Algebra. tome II, chap. 13).
[11] Speiser,Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung, p. 64. · JFM 63.0059.01
[12] C.-L. Siegel, “ Abh. Preuss. Akad. Wiss. ”, n. 1, 1929, p. 45. · JFM 55.0446.02
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