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La répartition modulo un et les nombres algébriques. (French) Zbl 0019.00703

Paris: Diss. 44 pag. (1938).
In dieser Dissertation handelt es sich um die asymptotische Verteilung modulo Eins gewisser Folgen reeller Zahlen \(u_n = f_n(\alpha)\) \((n = 1, 2,\ldots)\), wo \(\alpha\) ein reeller Parameter, z. B. des Intervalles \(a\leq \alpha\leq b\) darstellt. Mit Hilfe des Weylschen Kriteriums hat Ref. gezeigt, daß unter gewissen Bedingungen für das Wachstum in Bezug auf \(n\) und für die Regularität in Bezug auf \(\alpha\) eine solche Folge für fast alle \(\alpha\) aus \(a\leq \alpha\leq b\) gleichverteilt (mod 1) ist [Compos. Math. 2, 250–258 (1935; Zbl 0012.01401, JFM 61.0205.01)]. Verf. untersucht die Ausnahmemenge vom Maß Null derjenigen \(\alpha\), für die die Gleichverteilung nicht zutrifft. Er betrachtet dazu neben der Folge \(u_1, u_2,\ldots\) die Folge \(a_1, a_2,\ldots\), wo \(a_n\) die zu \(u_n\) nächstliegende ganze Zahl bedeutet; unter einfachen Bedingungen liefern zwei verschiedene Zahlen \(\alpha\) auch verschiedene Folgen \(a_1, a_2,\ldots\). Durch Elimination von \(\alpha\) aus \(u_n = f_n(\alpha)\), \(u_{n+1} = f_{n+1}(\alpha)\) entsteht eine rekurrente Beziehung \[ u_{n+1} =F_n(u_n)\qquad (n=1,2,\ldots) \tag{1} \] (im Fall \(u_n = \alpha^n\) \((\alpha > 1)\) hat man z. B. \(u_{n+1}= u_n^{(n+1)/n}\)).
Man betrachte jetzt die Folge \(u_1 - a_1, u_2 - a_2, \ldots\). Verlangt man, daß das \(n\)te Glied dieser Folge hinreichend nahe an Null oder allgemeiner hinreichend nahe an dem \(n\)ten Glied \(\gamma_n\) einer vorgegebenen Folge \(\gamma_1, \gamma_2, \ldots\) des Intervalles \((-\tfrac 12, \tfrac 12)\) liegt, so zieht (1) in den von Verf. betrachteten Fällen eine rekurrente Beziehung
\[ a_{n+1} = \Phi_n(a_n)\qquad (n=1,2,\ldots) \tag{1} \] nach sich. Das heißt: Die Folge \(a_1, a_2,\ldots\) ist wegen (2) durch das erste Glied \(a_1\) schon bestimmt, also: Es gibt höchstens abzählbar viele Folgen \(a_1, a_2,\ldots\) der verlangten Art, also: Es gibt höchstens abzählbar viele \(\alpha\), für die die zugehörige (offenbar nichtgleichverteilte Folge \(u_1, u_2,\ldots\) die verlangte Eigenart zeigt. Kann man aber andererseits (wie es dem Verf. in mehreren Fällen tatsächlich gelingt) bei jeder Folge \(\gamma_1, \gamma_2, \ldots\) des Intervalles \((-\tfrac 12, \tfrac 12)\) die Existenz derartiger \(\alpha\) wirklich nachweisen, so hat man offenbar gezeigt, daß die Folge \(u_n = f_n(\alpha)\) \((n = 1, 2,\ldots)\) für eine Menge von Zahlen \(\alpha\) kontinuierlicher Mächtigkeit nicht gleichverteilt (mod 1) ist.
Aber auch die Untersuchung der so bestimmten speziellen Zahlen \(\alpha\) liefert oft interessante Ergebnisse, z. B. im Fall \(u_n = \lambda_n \alpha^n\) (\(\lambda > 0\), \(\alpha > 1\), \(n= 1, 2, \ldots\)) (wo man \(\lambda\) fest und \(\alpha\) als Parameter, jedoch auch \(\alpha\) fest und \(\lambda\) als Parameter sowie \(\lambda\) und \(\alpha\) beide als Parameter auffassen kann), wo Verf. zu einigen bemerkenswerten Klassen algebraischer Zahlen geführt wird (Kap. III, IV).
Verf. beschränkt sich nicht auf Folgen von Zahlen \(f_n(\alpha)\), die von einem einzigen Parameter \(\alpha\) abhängen, sondern wendet die obigen Grundgedanken auf \(r\geq 1\) simultanen Folgen \(f_{n,h}(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_r)\) \((h = 1, 2, \ldots, r)\), wo \(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_r\) als Punkt im \(R_r\) gedeutet wird, an. In Kap. I werden die allgemeinen Methoden entwickelt und einige sehr allgemeine Sätze bewiesen; in den übrigen Kap. II bis IV werden diese Methoden auf solche Folgen angewandt, die einer linearen rekurrenten Beziehung genügen und sich demnach schreiben lassen:
\[ u_n = \lambda_1(n) \alpha_1^n+\lambda_2(n) \alpha_2^n+ \ldots+ \lambda_r(n) \alpha_r^n, \] wo die \(\lambda_\rho(n)\) Polynome mit reellen Koeffizienten sind. Es wird sowohl der Fall betrachtet, daß diese Koeffizienten fest sind und die \(\alpha_\rho\) variabel, wie auch die Fälle, daß die Koeffizienten variabel sind und die \(\alpha_\rho\) fest oder ebenfalls variabel. (In jedem dieser Fälle trifft die oben skizzierte Methode zu.) Von den Ergebnissen seien nur einige speziellere erwähnt (vgl. auch die Referate vorbereitender Noten [C. R. Acad. Sci., Paris 202, 892–894 (1936; Zbl 0013.29501, JFM 62.0184.04); 203, 148–150 (1936; Zbl 0014.34503, JFM 62.0185.01); 204, 312–314 (1937; Zbl 0016.05302, JFM 63.0153.04); 204, 1853–1855 (1937; Zbl 0016.39202, JFM 63.0153.03)]:
I. Sei \(u_n = \lambda_1(n) \alpha_1^n+\lambda_2(n) \alpha_2^n+ \ldots+ \lambda_r(n) \alpha_r^n\) (\(n\geq 0\), \(\lambda_1, \lambda_2,\dots, \lambda_r\) feste Zahlen) das allgemeine Glied einer reellen Folge. Sei \(\gamma_0, \gamma_1, \ldots\) eine Folge reeller Zahlen und werde \(u_n\equiv \gamma_n + \varepsilon_n \pmod 1\) gesetzt. Es bedeute \(A\) ein Gebiet innerhalb eines der Teile des \(R_r\), welche von \(\alpha_h=\alpha_k\) \((h\neq k)\), \(| \alpha_h|\geq 1\) \((1\leq h\leq r,\;1\leq k\leq r)\) begrenzt werden. Dann gibt es höchstens abzählbar viele \(r\)-Tupel \((\alpha_1,\ldots, \alpha_r)\) für die von einem gewissen Index \(n_0\) ab
\[ \bigl|\varepsilon_n\bigr| < \frac{n-r}{(2+\varepsilon)n}\frac 1{\prod_{h=1}^r(|\alpha_h|+1)} \] gilt, aber es gibt in \(A\) Werte \((\alpha_1,\ldots, \alpha_r)\), für die von einem gewissen Index \(n_0\) ab
\[ \bigl|\varepsilon_n\bigr| < \frac {1+\varepsilon}{2\prod_{h=1}^r(|\alpha_h|-1)} \] gilt \((\varepsilon\) bedeutet eine beliebig zu wählende Zahl \(> 0)\).
II. Notwendig und hinreichend für die Transzendenz der reellen Zahl \(\lambda\) ist die Divergenz der Reihe \[ \sum_{n=0}^\infty \sin^2(\pi\lambda\alpha^n) \]
für alle reellen \(\alpha\geq 1\).

MSC:

11K06 General theory of distribution modulo \(1\)
11J71 Distribution modulo one
Full Text: EuDML

Online Encyclopedia of Integer Sequences:

Pisot sequence T(5,21), a(n) = floor( a(n-1)^2/a(n-2) ).