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The classical groups, their invariants and representations. (English) Zbl 0020.20601
(Princeton Math. ser. Edit.: Marston Morse, H. P. Robertson a. A. W. Tucker. Pt. 1) Princeton, New Jersey: Univ. Press a. London: Humphrey Milford Oxford University Press. XII, 302 p. (1939).
In einem einleitenden Kapitel wird gezeigt, wie aus den Grundgedanken des Kleinschen Erlanger Programms die Probleme der Darstellungstheorie und der Invariantentheorie erwachsen. Die Darstellungstheorie lehrt, welche Arten von Größen es bei einer vorgegebenen Gruppe gibt, die Invariantentheorie aber untersucht die invarianten Beziehungen zwischen diesen Größen. Nun werden zunächst die einfachsten Größen, die Vektoren, betrachtet und ihre Invarianten gegenüber den klassischen Gruppen, das sind in erster Linie die allgemeine und spezielle lineare Gruppe, die orthogonale und die “Symplektische” (= Komplex-) Gruppe, daneben aber auch die Bewegungsgruppe, die affine und ähnliche Gruppen, aufgestellt. Mit Hilfe der grundlegenden Identität von Capelli werden der erste und zweite Hauptsatz der Invariantentheorie bewiesen: der erste gibt die Bausteine, aus denen sich die Invarianten von Vektoren zusammensetzen, der zweite die Relationen zwischen diesen Bausteinen.
Das nächste Kapitel bringt die Grundbegriffe der Theorie der halbeinfachen Algebren (insbesondere der Gruppenringe) in darstellungstheoretischer Begründung, wobei die Reziprozität zwischen einer Algebra aus linearen Transformationen und der Algebra der mit ihnen vertauschbaren linearen Transformationen im Vordergrund steht. Auf Grund dieser Reziprozität wird in den nächsten Kapiteln die Zerlegung des Tensor raumes in irreduzible Teilräume durchgeführt, zuerst für die volle lineare Gruppe, dann für die orthogonale Gruppe nach einer Methode von R. Brauer, schließlich ganz analog, aber einfacher für die symplektische Gruppe. Die Charaktere dieser Gruppen werden nach der Integrationsmethode berechnet.
Es folgt ein kurzer Abriß der klassischen Invariantentheorie auf Grund der symbolischen Methode und eine Darstellung des Hilbertschen Endlichkeitsbeweises für die Invarianten im klassischen Sinn.
Den Schluß des Buches bildet eine Neubegründung der Sätze über direkte Produkte von halbeinfachen Algebren und ihr Verhalten bei Erweiterung des Grundkörpers.

MSC:
20-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to group theory
13-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to commutative algebra
13A50 Actions of groups on commutative rings; invariant theory
20Gxx Linear algebraic groups and related topics
Keywords:
Group theory