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Introduction into algebraic geometry. (Einführung in die algebraische Geometrie.) (German) Zbl 0021.25001
Questo volume, dedicato ad un’introduzione alla geometria algebrica, presenta alcune delle ben note caratteristiche delle opere del suo Autore, e precisamente la nitidezza dell’esposizione, la rapidità e compattezza della trattazione, tenuta nei limiti di una severa economià, e la costante aspirazione al rigore ed alla chiarezza nei fondamenti. Non vi si trova invece quel serrato giuoco di concetti astratti, cosi caratteristico della “Moderne Algebra” [Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete Bd. 23. Berlin, J. Springer (1930; JFM 56.0138.01), (1931; JFM 57.0153.03)], che rende quest’ultima di difficile lettura per chi non abbia un’ampia preparazione preliminare. Come afferma l’A., una trattazione di carattere strettamente deduttivo ed astratto della geometria algebrica, che partisse da un corpo qualunque, svolgesse la conseguente teoria delle varietà \(n\)-dimensionali, ed ottenesse gli ordinari teoremi della geometria sopra una curva come casi estremamente particolari di teoremi generali, sarebbe oggidi senz’altro possibile. Ma, opportunamente, trattandosi di un volume introduttivo, l’A. non ha seguito questa strada, procedendo in modo più induttivo e badando sempre a mettere in evidenza il materiale intuitivo, che giustifica l’introduzione di ogni concetto astratto. L.A. opera conseguentemente quasi sempre nel corpo dei numeri complessi e talvolta non rifugge nemmeno da considerazioni di continuità o di teoria delle funzioni. L. A. ha altresi abbandonato i metodi espositivi, di natura aritmetica, basati sulla teoria degli ideali, per sostituirli con i metodi algebrico geometrici, caratteristici della scuola italiana. E’ stato cosi possibile accostarsi, sino ad un certo punto, allo sviluppo storico della geometria algebrica. Giova tuttavia dire esplicitamente che il libro si presta piú a dare allo studioso il possesso sicuro e preciso dei fatti esposti che a renderlo padrone dello sviluppo storico dei concetti. Invero l’A. dedica soltanto qua e là poche righe alle notizie storiche; ed è estremamente parco nelle citazioni: ad es., per limitarci al contributo italiano, nessun geometra italiano e citato nella questione della classificazione delle omografie o del principio della conservazione del numero o del teorema dell’ \(AF+ f\Phi\) (secondo l’A. \(Af+ Bg\)). L.A. ha tratto molto materiale dalla sua “Moderne Algebra”, alla quale si rimanda per diverse dimostrazioni, e dalla serie delle sue pubblicazioni “Zur algebraischen Geometrie” [I: Math. Ann. 108, 113–125 (1933; Zbl 0007.07406; JFM 59.0642.11); II: Math. Ann. 108, 253–259 (1933; Zbl 0006.36504; JFM 59.0643.01); III: Math. Ann. 108, 694–698 (1933; Zbl 0007.22604; JFM 59.0643.02); IV: Math. Ann. 109, 7–12 (1933; Zbl 0007.42101; JFM 59.0644.01); V: Math. Ann. 110, 128–133 (1934; Zbl 0009.22504; JFM 60.0595.01); VI: Math. Ann. 110, 134–160 (1934; Zbl 0009.22601; JFM 60.0595.02); VII: Math. Ann. 111, 432–437 (1935; Zbl 0012.11903; JFM 61.0690.11); VIII: Math. Ann. 113, 199–205 (1936; Zbl 0014.36504; JFM 62.0786.01); IX: Math. Ann. 113, 692–704 (1937; Zbl 0016.04004; JFM 62.0772.02); X: Math. Ann. 113, 705–712 (1937; Zbl 0016.04101; JFM 62.0773.01); XI: Math. Ann. 114, 683–699 (1937; Zbl 0017.37301; JFM 63.0612.01); XII: Math. Ann. 115, 330–332 (1938; Zbl 0018.23401; JFM 64.0684.03); Math. Ann. 115, 359–378 (1938; Zbl 0018.27001; JFM 64.0684.03); XIV: Math. Ann. 115, 619–642 (1938; Zbl 0018.42106); XV: Math. Ann. 115, 645–655 (1938; Zbl 0019.18006; JFM 64.0684.03)]. Comunque sia, il notevole libro di vàn der Waerden agevolerà senza dubbio la conoscenza dei metodi della scuola italiana e coopererà ad una reciproca comprensione tra i geometri italiani e gli algebristi tedeschi, assolvendo cosíun compito di grande importanza.
Passiamo ad un rapido esame del contenuto del volume, che consta di 9 eapitoli. Il cap. I e dedicato alla geometria proiettiva degli spazi ad \(n\) dimensioni: contiene le generalità sugli spazi proiettivi complessi, lo studio delle trasformazioni proiettive, le coordinate plückeriane, il concetto di geometria astratta. Come esemplificazioni vengono sviluppate le prime proprietà della geometria della retta in \(S_3\); lo studio degli spazi lineari contenuti in una quadrica di \(S\), lo studio della cubica gobba. Il cap. II espone i concetti fondamentali sulle funzioni algebriche. Dopo una breve premessa, che inquadra le funzioni algebriche nel corpo dell’algebra moderna, si tien conto in modo essenziale anche del punto di vista della teoria delle funzioni, sino a pervenire agli sviluppi di Puiseux. Si dà un cenno efficace sulla possibilità, indicata da Ostrowski, di sostituire questi sviluppi con altri di carattere formale e puramente algebrico, meno naturali e semplici di quelli di Puiseux , ma più coerenti alla natura della questione. Si enunciano infine i principali risultati della teoria dell’eliminazione. Il cap. III inizia lo studio delle varietà algebriche, dal caso più semplice delle curve piane: contiene anzitutto una elegante e rigorosa presentazione dei concetti d’irriducibilità, di ordine, di molteplicità in un punto di una curva algebrica e del teorema di Bézout. Seguono le nozioni di curva polare, di classe, di rami di una curva algebrica, una prima classificazione delle singolarità (con la esplicita menzione dei tipi più semplici), le prime formule di Plücker. Queste nozioni si applicano allo studio delle cubiche, per le quali si sviluppa anche una teoria dei gruppi di punti, che anticipa la teoria delle serie lineari sopra una curva qualunque. Il capitolo culmina con lo scioglimento delle singolarità mediante trasformazioni cremoniane e colla dimostrazione dell’invarianza del genere, ottenuta attraverso il concetto di differenziale del corpo di funzioni, definito dalla curva. Se ne deduce l’ultima formula di Plücker. Il cap. IV affronta lo studio generale delle varietà algebriche: si trovano qui esposti, in modo ineccepibile, i delicati concetti d’irriducibilità, di punto generico, nonche la rappresentazione monoidale d Cayley–Halphen. Segue la determinazione delle componenti irriducibili di una qualunque varietà, mediante la teoria dell’eliminazione; ed un breve ma limpido studio delle varietà algebriche dal punto di vista topologico. Il cap. V tratta delle corrispondenze algebriche: illustrato il prineipio di corrispondenza di Chasles sull’esempio dei poligoni di Poncelet, ci si eleva al concetto generale di corrispondenza, attaecando ad esso il principio del computo di costanti, al modo di Schubert. Questo principio viene ampiamente illustrato con numerosi esempi, opportunamente scelti. Il cap. VI e dedicato al concetto di molteplicità. Esso si inizia con la ricerca di ehe cosa avvenga delle soluzioni di un problema geometrico quando si specializzino i dati. Ci si imbatte cosi nel principio della conservazione del numero, per la cui validità, vengono assegnate condizioni sufficienti. Il principio stesso viene illustrato su alcuni esempi, tra cui quello cassico relativo al numero delle proiettività che mutano in se una quaterna di punti di una reltta. Segue un criterio per la molteplicia semplice (non esistenza di una tangente comune a due varietà, intersecantisi) e varie considerazioni sugli spazi tangenti, che culminano nel teorema generale di Bézout. Il cap. VII tratta delle serie lineari (effettive o virtuali) sopra una varietà qualunque posti i concetti fondamentali, tra cui quelli d’immagine proiettiva e di serie lineare semplice o composta, se ne fà, applicazione al caso delle curve, dimostrando, con il metodo indicato da Severi, la possibilità, di trasformare birazionalmente ogni curva in una priva di punti multipli. Il capitolo termina colla dimostrazione dei teoremi di Bertini. Nel cap. VIII viene esposta finalmente la geometria spora una curva, con il metodo algebrico di Brill–Noether. Il teorema fondamentale dell’ \(AF + B\Phi\) viene enunciato in un’accezione dovuta a Dubreil, secondo il quale tutti i teoremi del tipo dell’ \(AF+B\Phi\) possono dedursi da un lemma di van der Woude. L’esposizione della teoria procede pol al modo solito, culminando nel teorema di Riemann–Roch. Viene accennata l’estensione allo spazio del teorema dell’ \(AF+B\Phi\), con applicazioni alle curve gobbe dei primi ordini. Infine, il cap. IX offre un’analisi più approfondita delle singolarità delle curve plane. Vi si introducono i punti multipli infinitamente vicini, il concetto di punti “prossimi” ed il cosidetto “albero delle singolarità” di Enriques.

MSC:
14-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to algebraic geometry
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