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On non-associative combinations. (English) Zbl 0021.29404
Die verschiedenen Bedeutungen von \(x^n\) in einer nicht-assoziativen Algebra werden Gestalten (shapes) genannt. Einer Gestalt entspricht ein Baum, in dem jeder Knotenpunkt einer Zerlegung des Produktes in zwei Teilprodukte entspricht. Für Gestalten kann eine Multiplikation und eine Addition definiert werden: die Multiplikation entspricht der Bildung von \((x^n)^m\), die Addition der Bildung von \(x^n \cdot x^m\). Gestalten können nach ihrem Grad \(n\), ihrer Höhe \(\alpha\) und ihrer Mutabilität \(\mu\) klassifiziert werden. Die Mutabilität ist die Anzahl der Knotenpunkte im Baum, deren zwei Faktoren nicht dieselbe Gestalt haben. Die Anzahl der Gestalten von gegebenem Grad \(\delta\) und Mutabilität \(\mu\) ist \[ n_{\delta\mu} = 2^\mu c_{\delta\mu}, \]
wobei \(c_{\delta\mu}\) die Anzahl der Gestalten ist, die sich nicht durch Vertauschung von Faktoren ineinander überführen lassen. Nun wird, neben anderen elementaren Anzahlrelationen, eine Rekursionsformel für \(c_{\delta\mu}\) und eine Funktionalgleichung für
\[ f(x,y) = \sum_{\delta\mu} c_{\delta\mu} x^\delta y^\mu \]
hergeleitet.

MSC:
17A60 Structure theory for nonassociative algebras
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