Canonical representation of automorphisms of a complex semisimple Lie group. (English) Zbl 0022.01201

Gantmacher, Felix

Rec. Math. Moscou, n. Ser. 5, 101-144 (1939).

In dieser wertvollen Arbeit wird die Struktur der Automorphismengruppen der halbeinfachen: Lie-Gruppen deutlicher sichtbar gemacht, als dies durch H. Weyl [Theorie der Darstellung kontinuierlicher halbeinfacher Gruppen durch lineare Transformationen, Math. Z. 23, 271–309 (1925); ibid. 24, 328–395 (1926; JFM 51.0319.01)] und É. Cartan [Les tenseurs irréductibles et les groupes linéaires simples et semi-simples. Bull. Sci. Math., II. Sér. 49, 130–152 (1925; JFM 51.0322.01)] schon geschehen ist.
Die Automorphismengruppe eines halbeinfachen Lie-Ringes von \(r\) unabhängigen komplexen Parametern werde in größte zusammenhängende Teile zerlegt: \(\mathfrak A = \mathfrak A_0 + \mathfrak A_1 \cdots\), so daß etwa 1 in \(\mathfrak A_0\) liegt. Dann ist \(\mathfrak A_0 = e^{\underline L}e^{\underline L}\), wobei \(\underline u(x) [u, x]\) \((u, x\) aus \(L)\). \(a\) aus \(\mathfrak A_i\) heißt regulär, wenn die Vielfachheit des Eigenwertes 1 der linearen Transformation \(a\) von \(L\) gleich der Minimalzahl \(n_i\) auf \(\mathfrak A_i\) ist. Die regulären Elemente aus \(\mathfrak A_i\) bilden eine offene und zusammenhängende Teilmenge von \(r\) komplexen Dimensionen, während die Restmenge sich auf endlich viele zusammenhängende Mannigfaltigkeiten kleinerer Dimension verteilt. Wenn \(a\) regulär ist, so ist der zum Eigenwert 1 von \(\mathfrak A_i\) gehörige Eigenmodul \(K\) ein abelscher Teilring von \(L\) und umgekehrt. \(a\) läßt \(K\) elementweise fest. Die \(a\) enthaltende Komponente \(\mathfrak m_a\) des Normalisators von \(a\) hat in diesem Fall die kanonische Darstellung: \(\mathfrak m_a = a \cdot\mathfrak K\), wobei \(\mathfrak K = e^{\mathfrak K}\) die aus \(K\) erzeugte zusammenhängende Lie-Untergruppe von 1 ist; also erzeugt \(\mathfrak m_a\) dann eine abelsche Gruppe.
Wenn für \(b\) aus \(\mathfrak A\) zum Eigenwert 1 von \(b\) nur einfache Elementarteiler gehören, so sind alle Elementarteiler von \(b\) einfach. Wenn \(a\) regulär ist, so besteht \(\mathfrak m_a\) aus lauter Elementen mit einfachen Elementarteilern; wenn umgekehrt das Element \(b\) mit einfachen Elementarteilern in derselben Komponente wie \(a\) liegt, dann gibt es ein Element \(u\) aus \(\mathfrak A_0\), so daß \(ubu^{-1}\) in \(\mathfrak m_a\) liegt. Infolgedessen sind \(\mathfrak m_a\), \(\mathfrak m_b\) unter \(\mathfrak A_0\) konjugiert, wenn \(a, b\) reguläre Elemente aus der gleichen Komponente sind.
Diese Sätze folgen aus topologischen Überlegungen im Geiste von O. Schreier [Verwandtschaft stetiger Gruppen im Großen. Abh. Math. Semin. Univ. Hamb. 5, 223–244 (1927; JFM 53.0110.02)]. Sie lassen sich auf beliebige Lie-Gruppen \(\mathfrak G\), die \(L\) als Infinitesimalring besitzen, übertragen. Wenn \(\mathfrak G\) als vollreduzible Matrizengruppe gegeben ist, so hat der durch den inneren Automorphismus \(x\to axa^{-1}\) von e induzierte Automorphismus von L genau dann einfache Elementarteiler, wenn die Matrix a lauter einfache Elementarteiler hat.
Die Zahl \(n_0\) ist gleich dem Rang von \(L\); wenn \(i > 0\), so ist \(n_i < n_0\). Die äußere Automorphismengruppe \(\mathfrak A/\mathfrak A_0\) ist endlich. Ihre Ordnung und ihre erzeugenden Elemente werden für die durch Cartan-Killing bestimmten einfachen Typen ermittelt. Die Ordnung ist 2 für \(A_n\) \((n > 1)\), \(D_n\) \((n > 4)\) und \(E_6\), 6 für \(D_4\) und 1 für die übrigen Typen.

Reviewer: Hans Zassenhaus (Hamburg)

MSC:

22E46	Semisimple Lie groups and their representations
22E10	General properties and structure of complex Lie groups

Keywords:

canonical representation of automorphisms; complex semisimple Lie group

Citations:

JFM 51.0319.01; JFM 51.0322.01; JFM 53.0110.02