Sur les fonctions algébriques à corps de constantes fini. (French) Zbl 0023.29401

Weil, André

C. R. Acad. Sci., Paris 210, 592-594 (1940).

Skizze einer Lösung der Hauptprobleme der Theorie der algebraischen Funktionenkörper mit endlichem Konstantenkörper. Wie Hasse und Deuring erkannt haben, gibt die Theorie der algebraischen Korrespondenzen den Schlüssel zu diesen Problemen, aber die Severische algebraische Theorie der Korrespondenzen genügt nicht, sondern man muß die Hurwitzsche transzendente Theorie auf diese Funktionenkörper übertragen. Zu dem Zweck wird die Gruppe der Divisorenklassen nullter Ordnung isomorph abgebildet auf eine Gruppe von Vektoren, d. h. von einspaltigen Matrices mit \(2g\) Reihen, deren Elemente einem Ring \(\mathfrak R\) angehören, modulo 1. \(\mathfrak R\) entsteht aus dem Körper der rationalen Zahlen durch Komplettierung in bezug auf alle \(l\)-adischen Bewertungen, wobei \(l\) alle Primzahlen mit Ausnahme der Körpercharakteristik \(p\) durchläuft, und \(g\) ist das Geschlecht des Funktionenkörpers. Nunmehr kann man genau nach Hurwitz jeder algebraischen \((m_2, m_1)\)-Korrespondenz eine \(2g\)-reihige quadratische Matrix \(L\) zuordnen, deren Elemente \(\equiv 0\pmod l\) in \(\mathfrak R\) sind. Die inverse Korrespondenz definiert ebenso eine Matrix \(L'\), und unter gewissen Bedingungen ist die Spur von \(LL'\) gleich \(2m_2\). Mit Hilfe dieses Lemmas folgt die ,,Riemannsche Vermutung” für Funktionenkörper: Schließlich wird die Wirkung der Galoisschen Gruppe eines solchen Körpers auf die den Divisorenklassen zugeordneten Vektoren untersucht.
The article has been also reviewed in [JFM 66.0135.01].

Reviewer: B. L. van der Waerden (Leipzig)

MSC:

11R58	Arithmetic theory of algebraic function fields
14H05	Algebraic functions and function fields in algebraic geometry
14H25	Arithmetic ground fields for curves
14G15	Finite ground fields in algebraic geometry

Keywords:

algebraic function fields; finite field of constants; Severi’s algebraic theory of correspondences; Hurwitz’s transcendental theory; group of divisor classes; Riemann hypothesis for function fields; action of Galois group

Citations:

JFM 66.0135.01