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Zero-dimensional branches of rank one on algebraic varieties. (English) Zbl 0023.29402

Es wird untersucht, welche Wertegruppen für eine Bewertung eines algebraischen Funktionenkörpers in \(n\) Veränderlichen in Frage kommen. Dabei wird von vornherein angenommen, daß alle Konstanten den Wert 0 haben und die Wertegruppe \(\Gamma\) eine Untergruppe der additiven Gruppe der reellen Zahlen ist. Der Rang einer solchen Gruppe \(\Gamma\) ist die Maximalzahl der rational linear unabhängigen Zahlen in \(\Gamma\). Nun wird bewiesen: Die Wertegruppe einer Bewertung \(V\) eines algebraischen Funktionenkörpers in \(n\) Veränderlichen hat entweder einen Rang \(r < n\) oder ist direkte Summe von \(n\) unendlichen zyklischen Gruppen. Ist umgekehrt eine Gruppe von reellen Zahlen \(\Gamma\) gegeben, die entweder einen Rang \(r < n\) hat oder direkte Summe von \(n\) zyklischen Gruppen ist, so gibt es eine Bewertung des rationalen Funktionenkörpers \(L = K(x_1, \dots, x_n)\) mit der Wertegruppe \(\Gamma\). Das wichtigste Hilfsmittel bei der Konstruktion einer solchen Bewertung ist die Existenz einer beliebigen Anzahl von algebraisch unabhängigen Potenzreihen in einer Veränderlichen über einem beliebigen Konstantenkörper.

MSC:

11R58 Arithmetic theory of algebraic function fields
14H05 Algebraic functions and function fields in algebraic geometry
12J10 Valued fields
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