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Polyadic groups. (English) Zbl 0025.01201

\(G\)* sei eine Gruppe, \(G_{0}\) Normalteiler von \(G\)* und \(G^{\ast}/G_0\) zyklisch von der Ordnung \(m- 1\). Die erzeugende Restklasse \(G\) von \(G^{\ast}/G_0\) habe folgende Eigenschaften:
I. In \(G\) ist eine \(m\)-adische Verknüpfung \(a_1a_2\cdots a_m=a\) definiert.
II. Die Gleichung \(a_1a_2\cdots a_m=a\) ist für jedes \(a_i\) eindeutig lösbar.
III. \((a_1\cdots a_m)\,a_{m+1}\cdots a_{2m-1}=a_1(a_2\cdots a_{m+1})\cdots a_{2m-1}=\cdots \)
\[ =a_1\cdots(a_m\cdots a_{2m-1}) \] Jede Menge \(G\), die I. bis III. erfüllt, heißt \(m\)-Gruppe. Setzt man in einer \(m\)-Gruppe \(G\) \(a_1\cdots a_i=b_1\cdots b_j\), wenn es Elemente \(s_1\),…, \(s_h\) und \(t_1\),…, \(t_{k}\) gibt mit \[ s_1\cdots s_ha_1\cdots a_it_1\cdots t_k=s_1\cdots s_hb_1\cdots b_jt_1\cdots t_k, \] so wird dadurch die Menge der \(i\)-ade von \(G\) zu einer Gruppe \(G\)*, die Menge der \((m - 1)\)-ade zu einem Normalteiler \(G_{0}\) von \(G\)* und \(G\) ist erzeugende Restklasse der zyklischen Gruppe \((m - 1)\)-ter Ordnung \(G^{\ast}/G_0\). Obwohl also die Theorie der polyadischen Gruppen in der gewöhnlichen Gruppentheorie enthalten ist, läßt sich die polyadische Theorie selbständig entwickeln, und es ist überraschend, wie weitgehend parallel beide Theorien gehen. Unter den Begriffen, die Verf. ausführlich für endliche polyadische Gruppen entwickelt, seien genannt:
Untergruppen, Isomorphismen, zyklische Gruppen, freie Gruppen, Worte, Kommutatorgruppe, Abelsche Gruppen, Zentrum, Frobeniusscher Satz, Sylow-Gruppen; Substitutionsgruppen, Darstellungen, Transitivität, Primitivität, Holomorph; lineare Gruppen, Kollineationen, Hermitesche Invarianten, kanonische Form.
Reviewer: P. Lorenzen (Bonn)

MSC:

20N15 \(n\)-ary systems \((n\ge 3)\)

Keywords:

polyadic groups

Citations:

JFM 66.0099.01
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