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On the theory of abelian groups of arbitrary power. (Zur Theorie der Abelschen Gruppen von beliebiger Mächtigkeit.) (Russian. German summary) Zbl 0025.29901

Es werden Sätze über die direkte Zerlegbarkeit abelscher (additiv geschriebener) Gruppen \(\mathfrak{A}\) beliebiger Mächtigkeit bewiesen, bei deren Herleitung der von H. Prüfer [Math. Z. 17, 36–61 (1923; JFM 49.0084.03)] eingeführte Begriff der Servanzuntergruppe eine wichtige Rolle spielt. Eine Untergruppe \(\mathfrak{U}\) von \(\mathfrak{A}\) heißt Servanzuntergruppe, wenn für jedes Element \(u\in\mathfrak{U}\) aus der Lösbarkeit einer Gleichung \(nx = u\) in \(\mathfrak{A}\) stets ihre Lösbarkeit in \(\mathfrak{U}\) folgt. Z. B. sind direkte Summanden stets Servanzuntergruppen.
Lemma 1: In einer \(p\)-Gruppe läßt sich jedes Element der Ordnung \(p\) von endlicher Höhe \(m\) einbetten in eine zyklische Servanzuntergruppe der Ordnung \(p^{m+1}\).
Satz 1: Eine Servanzuntergruppe, deren Faktorgruppe sich direkt in zyklische Summanden zerlegen läßt, ist direkter Summand (in einer geeigneten direkten Zerlegung).
Lemma 2: Wenn \(\mathfrak{C}\) Servanzuntergruppe von \(\mathfrak{A}\), \(\mathfrak{B}/\mathfrak{C}\) Servanzuntergruppe von \(\mathfrak{A}/\mathfrak{C}\) ist, so ist \(\mathfrak{B}\) Servanzuntergruppe von \(\mathfrak{A}\).
Satz 2: Eine \(p\)-Gruppe enthält genau dann kein von 0 verschiedenes Element unendlicher Höhe, wenn je endlich viele von ihren Elementen sich stets in eine endliche Servanzuntergruppe einbetten lassen.
Satz 3: Eine abzählbare Gruppe gestattet genau dann eine direkte Zerlegung in lauter zyklische Summanden, wenn sich je endlich viele von ihren Elementen stets in eine Servanzuntergruppe mit endlich vielen Erzeugenden einbetten lassen.
Aus Satz 2 und 3 folgt der Satz von Prüfer, daß die direkte Zerlegbarkeit abzählbarer \(p\)-Gruppen in lauter zyklische Summanden gleichbedeutend mit der Nichtexistenz von 0 verschiedener Elemente unendlicher Höhe ist. Ferner ergibt sich als Kriterium für die direkte Zerlegbarkeit torsionsfreier und abzählbarer Gruppen in lauter unendliche zyklische Summanden die von L. S. Pontryagin [Topological groups. London: Oxford University Press (1939; Zbl 0022.17104 and JFM 65.0872.02)] zuerst angegebene Bedingung, daß jede aufsteigende Kette von Untergruppen gleichen Ranges abbrechen muß.
Satz 4: Die direkte Zerlegbarkeit einer \(p\)-Gruppe beliebiger Mächtigkeit in lauter zyklische Summanden ist gleichbedeutend mit der Existenz einer aufsteigenden Kette \[ \mathfrak{B}_1 \subseteqq \mathfrak{B}_2 \subseteqq \mathfrak{B}_3 \subseteqq \cdots \] von Servanzuntergruppen, die jeweils endlichen Exponenten haben, so daß \(\lim\limits_{n \to \infty} \mathfrak{B}_n=\mathfrak{A}\) ist.
Satz 5: Jede Servanzuntergruppe von endlichem Exponenten ist direkter Summand.
Folgerung: Wenn die Untergruppe aller Elemente endlicher Ordnung endlichen Exponenten hat, so ist sie direkter Summand (s. R. Baer, Ann. Math. (2) 87, 766–781 (1936; Zbl 0015.20202 and JFM 62.1093.05); S. Fomin, Rec. Math., Moscou 2(44), 1007–1009 (1937; Zbl 0018.01104 and JFM 63.0862.02)].
Ferner folgt Satz 6: Eine \(p\)-Gruppe, die sich nicht in die direkte Summe von zyklischen und quasizyklischen Untergruppen zerlegen läßt, gestattet überhaupt keine Remaksche Zerlegung. (Von R. Baer [Q. J. Math., Oxf. Ser. 6, 217–221 (1935; Zbl 0012.15202 and JFM 61.0104.02)] nur für den abzählbaren Fall bewiesen.)
Satz 7: Jede gemischte Gruppe, d. i. eine Gruppe, die weder torsionsfrei noch eine Torsionsgruppe ist, hat eine nichttriviale direkte Zerlegung.
In §5 werden \(p\)-Gruppen mit beliebig vorgegebener unendlicher Mächtigkeit von der Form \(\aleph_{a+1}\) konstruiert, in denen jedes von 0 verschiedene Element endliche Höhe hat, so daß jede direkte Zerlegung der Gruppe wenigstens einen Summanden von gleich großer Mächtigkeit aufweist.

MSC:

20Kxx Abelian groups
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