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Note on the product of consecutive integers. II. (English) Zbl 0026.38801
In Fortführung von Teil I [J. Lond. Math. Soc. 14, 194–198 (1939; Zbl 0021.20704) wird gezeigt:
1. Für jedes ganze \(l>2\) gibt es eine Schranke \(k_0=k_0 (l)\) derart, daß für \(k \geq k_0\) die Gleichung \[ n(n+1)\cdots (n+k-1) = y^l \] unlösbar ist. Da diese Gleichung nach Thue-Siegel für festes \(k\) nur endlich viele Lösungen besitzt, gibt es also nur endlich viele Fälle, in denen das Produkt von \(k\) aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen eine \(l\)-te Potenz sein kann.
2. Ist \(n\geq 2k\) [was wegen \({n \choose k} = {n \choose n-k}\) keine Einschränkung bedeutet ] und \(k \geq 2^l\), so ist die Gleichung \({n \choose k} = y^l\) nicht lösbar.
3. Für \(l=3\) kann man in 2. auf die Voraussetzung \(k\geq 2^l\) verzichten. Dies würde auch für \(l\geq 3\) gelten, falls die Gleichungen \(x^l\pm 1 = 2 y^l\) und \(x^l\pm 1 = 2^{l-1}y^l\) gleichzeitig für jedes \(l\geq 3\) nicht lösbar sind.
Reviewer: Rohrbach (Prag)

MSC:
11D61 Exponential Diophantine equations
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