×

Cohomology theory in abstract groups. II. (English) Zbl 0029.34101

Sei \(G\) eine abelsche Gruppe und \(Q\) eine Gruppe von Automorphismen von \(G\). Diese Arbeit bringt eine gruppentheoretische Deutung der 3. Kohomologiegruppe \(H^3(Q, G)\) (s. vorsteh. Referat Zbl 0029.34001). Ein \(Q\)-Kern \((K,\Theta)\) mit Zentrum \(G\) ist eine Gruppe \(K\) mit Zentrum \(G\) und ein Homomorphismus \(\Theta\) von \(Q\) in die Gruppe der äußeren Automorphismen von \(K\), wobei die einem \(x\in Q\) zugeordnete Automorphismenklasse von \(K\) in \(G\) gerade den Automorphismus \(x\) von \(G\) induziert. Es wird ein Produkt für solche Kerne erklärt, das im wesentlichen das direkte Produkt der beiden \(K\) mit identifizierten Zentren ist. Ein Kern heißt erweiterbar (extensible), wenn es eine Gruppe \(E\supset K\) mit \(E/K\cong Q\) derart gibt, daß die Automorphismenklasse \(\Theta(x)\) des Elementes \(x\in Q\) gerade die von der Restklasse \(x\) von \(E \bmod K\) erzeugte Automorphismenklasse von \(K\) ist. Zwei Kerne heißen ähnlich, wenn sie sich nur um erweiterbare Faktoren unterscheiden. Die Ähnlichkeitsklassen von Kernen mit Zentrum \(G\) bilden eine abelsche Gruppe, die mit \(H^3 (Q, G)\) isomorph ist. Insbesondere ist \((K,\Theta)\) dann und nur dann erweiterbar, wenn die zugehörige Kohomologieklasse \(= 0\) ist. Für erweiterbare Kerne stehen die Erweiterungstypen dieses Kernes in eineindeutiger Beziehung zu den entsprechenden Erweiterungstypen des Zentrums \(G\) von \(K\), d. h. zu den Elementen von \(H^2 (Q, G)\).

MSC:

20J06 Cohomology of groups

Citations:

Zbl 0029.34001
PDFBibTeX XMLCite
Full Text: DOI