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On the number of abelian groups of a given order. (English) Zbl 0031.15303
Bezeichnet \(a(n)\) die Anzahl der wesentlich verschiedenen Abelschen Gruppen der Ordnung \(n\), so gilt \(a(mn)=a(m)a(n)\) für \((m,n)=1\), ferner ist \(a(p^\alpha)\) für eine Primzahl \(p\) gleich der Anzahl der möglichen Zerlegungen von \(\alpha\) in positive Summanden. Mithin ist
\[ \sum_{\lambda=0}^\infty a(p^j)p^{-\lambda s}=\prod_{\nu=1}^\infty (1-p^{-\nu s})^{-1}\qquad \text{für } \sigma=\operatorname{Re} s>0, \]
\[ F(s)=\sum_1^\infty a(n)n^{-s}=\prod_1^\infty\zeta(\nu s)\qquad\text{für } \sigma>1. \] Die Funktion \(F(s)\) ist regulär in der Halbebene \(\sigma>0\) mit Ausnahme der einfachen Pole in \(s=1/r\) \((r=1,2,\dots)\). Für die summatorische funktion \(A(x)=\sum_{n\leq x} a(n)\) gilt die Gleichung \[ A(x)=\alpha x-\beta x^{1/2}+O(x^{1/2}\log x) \] mit \(\alpha=\zeta(2)\zeta(3)\zeta(4)\dots\), \(\beta=-\zeta(\tfrac 12)\zeta(\tfrac 32)\dots\). Es ergibt sich dies durch Heranziehung allgemeiner Landauscher Prinzipien [E. Landau, Gött. Nachr. 1915, 209–243 (1915; JFM 45.0312.02)].
Für die Untersuchung der Werte \(a(n)\) selbst geben die Verff. die asymptotische Häufigkeitsverteilung der \(a(n)\) an, d.h. die Folge der Zahlen \[ P_m=\lim_{N\to\infty}\frac 1N \sum_{a(n)=m\atop n\leq N} 1\qquad (m=0,1,2\dots), \] die sich in diesem Falle explizit berechnen lassen, wobei sich \[ \sum_0^\infty P_m=1; \quad \sum_0^\infty mP_m=\zeta(2)\zeta(3)\zeta(4)\dots=\lim_{x\to\infty}\frac{A(x)}{x} \] ergibt.
Die Funktion \(a(n)\) selbst unterliegt starken Schwankungen, da einerseits \(a(n)=1\) für alle \(n\) mit \((n,\varphi(n))=1\), andererseits \(a(n)\) nach oben nicht beschränkt ist. Es gilt indes \[ a(n)=O(\exp(c\log n/\log\log n) \] mit einer positiven Konstanten \(c\). Diese Schranke kann nicht wesentlich verschärft werden, da für große \(n\) der Gestalt \(n=p_1^2 p_2^2\dots p_m^2\) gilt \[ a(n)=2^m=\exp(\tfrac 12\log 2\log n(1+o(1))/\log\log n). \] Derartige Werte sind selten, da die Anzahl der \(n\leq x\) für die \[ \log a(n)>C \log\log n+(\log\log n)^{1/2-\delta} \] mit beliebigem \(\delta>0\) und \(C=2\pi/\sqrt 6\), ein \(o(x)\) ist.
Reviewer: Specht (Erlangen)

MSC:
11N45 Asymptotic results on counting functions for algebraic and topological structures
20K01 Finite abelian groups
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