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On a problem in the theory of uniform distribution. I. (English) Zbl 0031.25402

Proc. Akad. Wet. Amsterdam 51, 1146-1154 (1948) and Indag. Math. 10, 370-378 (1948).
Die Verff. formulieren folgenden Satz: Liegen alle Nullstellen \(z_\nu\) des Polynoms \(f(z) = a_0+a_1z+ \cdots +a_n z^n\) außerhalb \(|z| < 1\) und ist, für ein festes \(\vartheta\) mit \(0 < \vartheta < 1\) auf \(|z| = \vartheta\), \(|f (z)| \leq M_\vartheta\), dann gilt, wenn \({M_\vartheta \over \sqrt {|a_0 a_n|}} = e^{n/g(n,\vartheta)}\) gesetzt wird \([n \geq g(n,\vartheta) \geq 2]\), für alle \(0\leq \alpha < \beta \leq 2 \pi\) \[ \left|{\sum\!\!\nu}_{\alpha \leq \text{arc }z_\nu \leq \beta \mod 2\pi}\;1-{\beta-\alpha \over 2 \pi} \nu \right| < C \log {4 \over \vartheta} {n \over \log g (n,\vartheta )}.\tag{1} \] Beim Beweis soll folgende ”endliche” Form des Gleichverteilungssatzes von H. Weyl verwendet werden. Sind \(\varphi_1,..., \varphi_n\) reell und \(|s_k| = \left|\sum_{r=1}^n e^{ki\varphi_r} \right| \leq \psi(k)\) \((k=1,...,m)\), \(m=m(n)\geq 1\), dann gilt für jedes \(0\leq\alpha <\beta \leq 2 \pi\) \[ \left|{\sum\!\!\nu}_{\alpha\leq \varphi_\nu \leq \beta \mod 2\pi}\;1-{\beta-\alpha \over 2\pi}\right| < C \left({n \over m+1}+\sum_{k=1}^m{\psi(k) \over k} \right). \] In dieser Note werden die beiden Sätze diskutiert und gezeigt, daß sich die Abschätzung in (1) in bezug auf \(n\) nicht weiter verbessern läßt. Weiter wird der Beweis des ersten Satzes vorbereitet, in dem gezeigt wird, daß man ihn auf den Fall zurückführen kann, wo alle \(z_\nu\) auf \(|z| =1\) liegen.

MSC:

11K06 General theory of distribution modulo \(1\)
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