Symbolic matrix derivatives. (English) Zbl 0032.00103

Dwyer, Paul S.; MacPhail, M. S.

Ann. Math. Stat. 19, 517-534 (1948).

Es sei \(X\) die Matrix \([x_{mn}]\) und \(Y\) die Matrix \([y_{pq}]\). Dann bezeichnet Verf. \([\partial y_{pq}/\partial x]\) mit \(\partial Y/\partial x\) und \([\partial y/\partial x_{mn}]\) mit \(\partial y/\partial X\). Es werden systematische Regeln für die Differentiation von Matrixsummen, -differenzen, -produkten, -reziproken und -potenzen abgeleitet. Z. B. erhält man, wenn \(Y = AX\) ein Produkt zweier Matrizen ist, von denen \(A\) keinen Wert \(x_{mn}\) enthält, \(\partial Y/\partial x_{mn}=AJ_{mn}\) und \(\partial y_{pq}/\partial X= A' K_{pq}\), worin \(J_{mn}\) (bzw. \(K_{pq}\)) eine Matrix mit denselben Dimensionen wie \(X\) (bzw. \(Y\)) ist und außer dem Einheitselement in der \(m\)-ten (bzw. \(p\)-ten) Zeile und \(n\)-ten (bzw. \(q\)-ten) Kolonne nur Nullen enthält.
Die Arbeit enthält auch Tabellen, in denen die Ableitungen von \(Y\) nach einem Element von \(X\) und eines Elementes von \(Y\) nach \(X\) für alle diejenigen \(Y\) angegeben sind, die Produkte von 2 oder 3 Faktoren sind, wobei ein, zwei oder drei Faktoren \(X\) bzw. \(X'\) sein können. Zum Schluß werden die Resultate dazu benützt, bekannte Formeln der statistischen Analyse mehrerer Veränderlicher abzuleiten und in der vorgeschlagenen Bezeichnungsweise auszudrücken.

Reviewer: S. Vajda (Epsom)

MSC:

15A99

Basic linear algebra

Keywords:

derivations; differentiation rules; matrix sums; matrix differences; matrix products; matrix reciprocals; matrix powers; formulas of statistical analysis; tables