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The singular series for sums of squares of polynomials. (English) Zbl 0032.00204

Sei \(p\) eine ungerade Primzahl, und bezeichne \(\mathrm{GF}[p^n,x]\) den Polynomring der Unbestimmten \(x\) über dem Galois-Feld \(\mathrm{GF}(p^n)\). Verf. and E. Cohen haben in mehreren früheren Arbeiten die Anzahl der Lösungen der Gleichung
\[ F = \alpha_1X_1^2+\dots+ \alpha_sX_s^2\qquad (\alpha_i\in\mathrm{GF}(p^n);\;X_i, F \in\mathrm{GF}[p^n, x]) \] in den Unbekannten \(X_i\) bestimmt [L. Carlitz, Trans. Am. Math. Soc. 35, 397–410 (1933; Zbl 0006.38901); Duke Math. J. 1, 298–315 (1935; Zbl 0012.19305), E. Cohen, Duke Math, J. 14, 251–267 (1947; Zbl 0030.10401); ibid. 14, 543–557 (1947; Zbl 0030.10402); ibid. 15, 501–511 (1948; Zbl 0030.19601)]. Die Methoden und die Resultate gestalteten sich aber ganz anders, je nachdem \(s\) eine gerade oder ungerade Zahl ist. In dieser Arbeit wird gezeigt, daß beide Fälle mittels eines Analogons von Hardys ,,singular series” eine gemeinsatne Behandlung gestatten.

MSC:

11T55 Arithmetic theory of polynomial rings over finite fields
11T06 Polynomials over finite fields
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