×

zbMATH — the first resource for mathematics

Finite sums and interpolation formulas over \(\mathrm{GF}[p^n,x]\). (English) Zbl 0032.00303
Große lateinische Buchstaben bezeichnen Polynome in \(x\) mit Koeffizienten aus dem Galois-Feld \(\mathrm{GF}(p^n)\). Sei \(t\) eine weitere Unbestimmte. Verf. zeigt, daß ein Polynom \(f(t)\) dann und nur dann der Bedingung
\[ f(t + A) = f(t) \quad(\text{für alle } A \text{ vom Grade }<m) \tag{*} \]
genügt, wenn \(f(t) = g(\psi_m(t))\) gilt, wobei \(g(t)\) ein beliebiges Polynom und \(\psi_m(t)\) das Produkt aller \(t - A\) mit \(A\) vom Grade \(< m\) bezeichnet. Ein Polynom von der Form \(f(t)=\sum \alpha_i t^p\) wird ein lineares Polynom genannt. [Es gelten dann nämlich offenbar \(f(t+u) = f(t)+f(u)\), \(f(\beta t) = \beta f(t)\) mit \(\beta\in\mathrm{GF}(p^n)\).] Ein lineares Polynom genügt der Bedingung (*) dann und nur dann, wenn es von der Form \(f(t)=\sum_{i=0}^k \alpha_i \psi_{m+i}(t)\) ist. Auf Grund dieser Tatsachen werden einige ,,Funktionalgleichungen” gelöst und manche interessanten Interpolationsformeln angegeben.
Von den schönen Anwendungen sei folgendes erwähnt: Ein Polynom \(g(t)\) vom Grade \(<p^{nm}\) ist dann und nur dann ganzwertig, wenn \(g(M)\) ein Polynom in \(x\) mit Koeffizienten aus \(\mathrm{GF}(p^n)\) für alle \(M\) vom Grade \(< m\) ist.

MSC:
11T55 Arithmetic theory of polynomial rings over finite fields
11T06 Polynomials over finite fields
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI