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The kernels of homomorphism of associative systems. (Russian. English summary) Zbl 0032.00401
In dieser Arbeit wird der Begriff des Normalteilers einer Gruppe mit Hilfe der Theorie der homomorphen Abbildungen auf Halbgruppen verallgemeinert.
\(\mathfrak G\) bezeichne stets eine Halbgruppe mit Einheitselement \(1_{\mathfrak G}\). Die in \(\mathfrak G\) enthaltenen Unterhalbgruppen, die ihrerseits \(1_{\mathfrak G}\) enthalten, werden als Teilsysteme bezeichnet. Der Durchschnitt von beliebig vielen Teilsystemen ist wieder ein Teilsystem. Homomorphismen und Isomorphismen werden wie üblich definiert.
§2. Ein Teilsystem \(\mathfrak N\) aus \(\mathfrak G\) heißt normal, wenn für \(A, B\) aus \(\mathfrak G\), \(N\) aus \(\mathfrak N\) stets \(ANB\) aus \(\mathfrak N\) gleichwertig mit \(AB\) aus \(\mathfrak N\) ist. Zum Beispiel sind \(\mathfrak G\) und ferner \(1_{\mathfrak G}\) normale Teilsysteme.
Lemma: Aus \(A_i\in \mathfrak G\), \(N_i\in\mathfrak N\) \((i = 1, 2,\dots, n)\) folgt die logische Gleichwertigkeit von \(\prod_{i=1}^n A_i\in\mathfrak N\) und \(\prod_{i=1}^n A_iN_i\in \mathfrak N\).
Satz 2.3: Der Durchschnitt beliebig vieler normaler Teilsysteme ist wieder ein normales Teilsystem.
Der Durchschnitt aller normalen Teilsysteme, die einen gegebenen Komplex von \(\mathfrak G\) enthalten, heißt seine normale Hülle. Diese ist das kleinste den Komplex enthaltende normale Teilsystem.
Satz 2.5: Der Durchschnitt eines Teilsystems \(\mathfrak H\) mit einem normalen Teilsystem ist ein normales Teilsystem von \(\mathfrak H\).
Als Kern eines Homomorphismus \(\varphi\) von \(\mathfrak G\) wird, wie iiblich, die Menge der auf \(\varphi (1_{\mathfrak G})\) abgebildeten Elemente aus \(\mathfrak G\) bezeichnet. Er ist ein normales Teilsystem. Die normalen Teilsysteme einer Gruppe stimmen mit den Normalteilern überein.
§3. Zwei Elemente \(X, Y\) heißen stark kongruent modulo dem normalen Teilsystem \(\mathfrak N\), wenn es Elemente \(X_1, X_2, Y_1, Y_2\) in \(\mathfrak G\) und Elemente \(N_1, N_2\) in \(\mathfrak N\) gibt, so daß \(X=X_1X_2\), \(Y=Y_1Y_2\) and \(X_1N_1X_2 = Y_1N_2Y_2\) gilt. Zwei Elemente \(X, Y\) heißen kongruent modulo \(\mathfrak N\), wenn es eine Kette endlich vieler starker Kongruenzen modulo \(\mathfrak N\) gibt, die \(X\) mit \(Y\) verbindet. \(\mathfrak G\) zerfällt disjunktiv in die Klassen modulo \(\mathfrak N\) kongruenter Elemente \((\mathfrak N\)-Klassen). Satz 3.3: Das Produkt zweier \(\mathfrak N\)-Klassen ist in einer \(\mathfrak N\)-Klasse enthalten.
Bezeichnen wir mit \(\overline X\) die \(\mathfrak N\)-Klasse, welche das Element \(X\) aus \(\mathfrak G\) enthält, so wird durch die Festsetzung \(\overline X\cdot\overline Y= \overline{XY}\) eindeutig eine Multiplikation der \(\mathfrak N\)-Klassen definiert, vermöge deren die \(\mathfrak N\)-Klassen eine Halbgruppe \(\mathfrak G/\mathfrak N\) mit \(\mathfrak N\) als Einheitselement bilden (Faktorsystem von \(\mathfrak G\) nach \(\mathfrak N\). \(\mathfrak N\) ist der Kern des durch die Abbildung von \(X\) auf die \(\mathfrak N\)-Klasse \(\overline X\) definierten natürlichen Homomorphismus zwischen \(\mathfrak G\) und \(\mathfrak G/\mathfrak N\) (einfache Homomorphismen).
Satz 3.6: Wenn \(\overline{\mathfrak H}\) ein Teilsystem von \(\mathfrak G/\mathfrak N\) ist, so ist die Menge \(\mathfrak H\) der in den Restklassen aus \(\overline{\mathfrak H}\) enthaltenen Elemente von \(\mathfrak G\) genau dann ein normales Teilsystem, wenn \(\overline{\mathfrak H}\) ein normales Teilsystem von \(\mathfrak G/\mathfrak N\) ist.
Satz 3.7: Wenn \(\mathfrak N\) und \(\mathfrak G/\mathfrak N\) Gruppen sind, so ist auch \(\mathfrak G\) eine Gruppe.
§4. Ein Teilsystem \(\mathfrak U\) heißt überführend, wenn für \(A,B\) aus \(\mathfrak G\), \(X\) aus \(\mathfrak U\) stets die Existenz von 4 Elementen \(X_1, X_2, X_3, X_4\) aus \(\mathfrak U\) folgt, so daß Gleichungen \(AXBX_1 = X_2AB\) and \(X_3AXB=ABX_4\) bestehen. Zum Beispiel sind \(\mathfrak G\) und \(1_{\mathfrak G}\)überführend. Wenn das Teilsystem \(\mathfrak U\) in \(\mathfrak G\) überführend ist, so auch in jedem Teilsystem zwischen \(\mathfrak U\) und \(\mathfrak G\). Ein Teilsystem, das mit allen Elementen von 0 vertauschbar ist, ist überführend. Die Umkehrung gilt nicht, wie in §7 gezeigt wird. Z. B. sind die Normalteiler einer Gruppe überführend.
Alle Teilsysteme eines kommutativen Systemes sind überführend. Ein Homomorphismus bildet stets ein überführendes Teilsystem auf ein überführendes Teilsystem des Bildes von \(\mathfrak G\) ab.
Satz 4.3: Der Kern des Homomorphismus von \(\mathfrak G\) auf eine Gruppe ist überführend.
§5. Wenn das normale Teilsystem \(\mathfrak N\) überführend ist, so ist Kongruenz modulo \(\mathfrak N\) gleichwertig mit der Existenz von Elementen \(N,N'\) aus \(\mathfrak N\), für welche die Gleichung \(XN = N'Y\) besteht.
\(X\) heißt linker (bzw. rechter) Teiler des Komplexes \(\mathfrak K\), wenn es Elemente \(K_1, K_2\) in \(\mathfrak K\) gibt, so daß \(XK_1= K_2\) (bzw. \(K_1X_1= K_2)\) ist. Jeder linke Teiler eines überführenden Teilsystems ist auch rechter Teiler und umgekehrt.
Satz 5.3: Alle Teiler eines überführenden Teilsystems bilden seine normale Hülle und diese ist ihrerseits überführend.
Satz 5.4: Die normale Hülle der Vereinigungsmenge überführender Teilsysteme ist gleich der Menge der linken (rechten) Teiler des Quadrates des Komplexproduktes dieser überführenden Teilsysteme in irgendeiner Reihenfolge.
§6. Ein Homomorphismus mit \(1_{\mathfrak G}\) als Kern heißt überdeckend (stimmt für Gruppen mit dem Begriff des Isomorphismus überein!).
Satz 6.3: Das Produkt zweier einfacher Homomorphismen (falls definiert!) ist gleich dem Produkt eines einfachen Homomorphismus mit einem Isomorphismus.
Satz 6.3.2: Das Produkt zweier überdeckender Homomorphismen (falls definiert) ist überdeckend.
Nur der identische Automorphismus ist zugleich einfacher und überdeckender Homomorphismus von \(\mathfrak G\). – Jeder Isomorphismus ist überdeckender Homomorphismus.
Satz 6.4: Jeder Homomorphismus \(\varphi\) läßt sich auf eine und nur eine Weise in das Produkt eines einfachen Homomorphismus \(\alpha\) mit einem überdeckenden Homomorphismus \(\beta\) zerlegen.
Satz 6. 5: Wenn \(\varphi\mathfrak G\) eine Gruppe ist, so ist \(\varphi\) ein Isomorphismus.
Schließlich werden einige einfache Eigenschaften des Begriffes: Der Homomorphismus \(\varphi\) von \(\mathfrak G\) ist schwächer als der Homomorphismus \(\psi\) von \(\mathfrak G\), d. h. \(\{\varphi X = \varphi Y\} \longrightarrow \{\psi X = \psi Y\}\) \((X,Y\) aus \(\mathfrak G)\), gezeigt.
§7. An Beispielen with dargelegt, daß überdeckende Homomorphismen nicht notwendig Isomorphismen sind und daß normale Teilsysteme nicht überführend zu sein brauchen.

MSC:
20L05 Groupoids (i.e. small categories in which all morphisms are isomorphisms)
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Full Text: MNR EuDML