On the density of some sequences of integers. (English) Zbl 0032.01301

Erdős, Pál

Bull. Am. Math. Soc. 54, 685-692 (1948).

\({\mathfrak A} =\{ a_1,a_2,...\}\) sei eine Menge wachsend geordneter, positiver ganzer Zahlen, und für alle \(n>0\) und alle \(k>0\) sei \(a_n \nmid a_{n+k}\). Die Menge \({\mathfrak B}=\{b_1,b_2,...\}\) bestehe aus allen positiven ganzen Zahlen, die durch mindesten ein \(a_n\) teilbar sind. \(\varphi (n;x;y_1,y_2,...,y_m)\) bezeichne die Anzahl der positiven ganzen Zahlen \(c \leq n\), die durch \(x\) aber nicht durch \(y_1, y_2,...,y_m\) teilbar sind. Der Verf. beweist, daß \({\mathfrak B}\) dann und nur dann eine Dichte besitzt, wenn \[ (1)\quad \lim_{\varepsilon \to 0}\varlimsup_{n \to \infty} {1\over n} \sum_{n^{1 - \varepsilon} < a_i \leq n} \varphi(n;a_i;a_1,a_2,...a_{i-1}) = 0 \] ist. Diese Bedingung ist speziell erfüllt, wenn für die Anzahlfunktion \(B(n)\) der Menge \({\mathfrak B}\) stets \(B(n)< cn/\log n\) gilt, was, wie der Verf. weiter zeigt, im folgenden Sinn sogar schon genau ist: Es sei \(\lim_{n \to \infty} \psi(n) = \infty\). Dann gibt es eine solche Menge \({\mathfrak A}\), daß zwar \(B(n) < \psi(n) n/\log n\) ist, \({\mathfrak B}\) jedoch keine Dichte besitzt.
Aus (1) folgt weiter, daß stets die Dichte einer solchen Menge existiert, die alle Zahlen enthält, die durch zwei gegebene Zahlen \(d_1,d_2\) mit \(d_1<d_2 \leq 2 d_1\) teilbar sind. Am Schluß werden noch einige ungelöste Fragen erwähnt.

Reviewer: Ostmann (Marburg)

MSC:

11B83	Special sequences and polynomials
11B05	Density, gaps, topology

Keywords:

Number theory