On some exponential sums. (English) Zbl 0032.26102

Weil, André

Proc. Natl. Acad. Sci. USA 34, 204-207 (1948).

Verf. entwickelt den Zusammenhang zwischen zyklischen algebraischen Kongruenzfunktionenkörpern einerseits und Charakter- bzw. Exponentialsummen andrerseits. Seiner einleitenden Bemerkung, daß er eine genaue Formulierung dieses Zusammenhangs in der Literatur nicht finden konnte, sei durch den Hinweis auf folgende Arbeiten begegnet: Ref. [J. Reine Angew. Math. 172, 37–54 (1934; Zbl 0010.00501; JFM 60.0097.01)] für den Fall, daß der Körpergrad \(n\) nicht durch die Charakteristik \(p\) teilbar oder gleich \(p^l\) ist, mit Ergänzung gemäß H. L. Schmid [J. Reine Angew. Math. 176, 161–167 (1936; Zbl 0016.05205; JFM 62.0111.01)] für den Fall, daß \(n=p^\nu\) mit beliebigem \(\nu > 1\) ist. Verf. zitiert stattdessen nur eine ältere Arbeit von H. Davenport [J. Reine Angew. Math. 169, 158–176 (1933; Zbl 0006.29501; JFM 59.0370.03)] über die Exponentialsummen mit \(n = p^l\), in der von jenem Zusammenhang noch nicht die Rede ist.
Verf. stellt fest, daß durch seine inzwischen durchgeführte Verallgemeinerung des Beweises der Riemannschen Vermutung auf algebraische Funktionenkörper beliebigen Geschlechts \(g\) mit Konstantenkörper von \(q\) Elementen [Actualités Sci. Ind., No. 1041 = Publ. Inst. Math. Univ. Strasbourg 7 (1945). Paris: Hermann & Cie. iv, 85 p. (1948; Zbl 0036.16001)] nunmehr für die in Rede stehenden Charakter- und Exponentialsummen die bestmöglichen Abschätzungen (Betrag \(\leq 2g\sqrt q)\) bewiesen sind.

Reviewer: Helmut Hasse (Berlin)

MSC:

11L07	Estimates on exponential sums
11L40	Estimates on character sums
11R60	Cyclotomic function fields (class groups, Bernoulli objects, etc.)

Keywords:

cyclic algebraic congruence function fields; character sums; exponential sums

Citations:

Zbl 0010.00501; JFM 60.0097.01; Zbl 0016.05205; JFM 62.0111.01; Zbl 0006.29501; JFM 59.0370.03; Zbl 0036.16001