A note on the division values of \(\wp(u)\). (English) Zbl 0032.26103

Cassels, J. W. S.

Proc. Camb. Philos. Soc. 45, 167-172 (1949).

Sei \(\wp(u) = x\), \(\frac12\wp'(u) = y\), \(g_2 = 4A\), \(g_3 = 4B\) gesetzt. Dann gelten bekanntlich für natürliches \(m\) Multiplikationsformeln \[ \wp(mu)=\varphi_m/\psi_m^2,\quad \frac12\wp'(mu)=\omega_m/\psi_m^3 \] mit rekursiv bestimmten ganzzahligen Polynomen \(\varphi_m\), \(\omega_m\), \(\psi_m\) in \(x,y,A,B\), wobei \(\varphi_m, \psi_m^2\) nur von \(x, A, B\) abhängen. Verf. beweist die in \(x, A, B\) identischen Kongruenzen \[ \varphi'_m\equiv 0, \quad (\psi_m^2)' \equiv 0 \bmod m \] (wo der Strich die Ableitung nach \(x\) bedeutet), indem er ihre Gültigkeit für jede Primzahlpotenz \(p^k\mid m\) feststellt. In den Fällen \(p=2,3\) erhält er noch etwas schärfere Kongruenzen für die Koeffizienten von \(\varphi_m\), \(\psi_m^2\). Zum Schluß geht er auf den Spezialfall ein, daß \(A\), \(B\) ganze Zahlen eines algebraischen Zahlkörpers \(K\) sind und leitet aus den bewiesenen Kogruenzen einschränkende Bedingungen für die Nenner von Punkten \(x_0,y_0\) endlicher Ordnung \(m\) in der Additionsgruppe aller Punkte \(x,y\) aus \(K\) der Kurve \(y^2=x^3-x-B\) her

Reviewer: Helmut Hasse (Berlin)

MSC:

14H52	Elliptic curves
14H55	Riemann surfaces; Weierstrass points; gap sequences

Keywords:

function fields