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Some remarks on polynomials. (English) Zbl 0032.38604
Es werden mehrere interessante Ungleichungen bewiesen, von denen einige sich an Resultate von Bernstein, Schur, Fekete, Pólya und Szegö anschließen. Sind \(f_n(x) = \prod_{k=1}^n (x-x_k)\), \(-1 \leq x_1 \leq x_2 \leq \cdots \leq x_n \leq 1\), \(f'_n(x) = n \prod_{k=1}^{n-1} (x-y_k)\), \(-1 \leq y_1 \leq \cdots \leq y_n \leq 1\), so besteht die Ungleichung \[ |f_n(-1)| + |f_n(+1)| + \sum_{k=1}^{n-1} |f_n(y_k)| \leq 2^{n/k} \] im Falle \(k = 1\), \(k = 2\) bzw. \(k > 2\) für jeden Grad \(n\), für \(n\geq 3\) bzw. für \(n\geq n_0(k)\). [Die Zahl \(n_0(k)\) wird nicht bestimmt.] Sind \(-1 = x_0 \leq x_1 \leq \cdots \leq x_{n+1} = 1\), \(\omega(x) = \prod_{k=1}^n (x-x_k)\), \(l_j(x) = \omega(x)/\omega'(x_j)(x-x_j)\), so gibt es einen Index \(k\), für den \[ \max_{x_k<x<x_{k+1}}\;\sum_{j=1}^n |l_j(x)| < n^{1 \over 2} \] ist. Hat das Polynom \(f_n (x) = a_0x^n + a_1 x^{n-1}+\cdots + a_n\) reelle ganze Koeffizienten, liegen die Nullstellen von \(f_n(x)\) im Intervall \((-1,+1)\) und ist \(f_n(-1) f_n(0) f_n(+1) \neq 0\), so ist \(|a_0| \geq 2^{n \over 2}\). (Die Bedingung für die Nullstellen von \(f_n(x)\) blieb bei der Aussage des Satzes in der Arbeit weg, beim Beweis aber nicht.) Hat \(f_n (z)\) reelle Koeffizienten und ist \(|f_n(z)| <1 \) im Intervall \((-1,+1)\), so ist \(|f_n (z_0)| \leq |T_n(z_0)|\), wenn \(|z_0| > 1\) ist und \(T_n(z)\) das Tschebyscheffsche Polynom \(n\)-ten Grades bedeutet. Die Arbeit enthält noch andere Ungleichungen für Polynome. \smallskip The author proved some interesting inequalities, some of them are closely related to results of Bernstein, Schur, Fekete, Pólya und Szegö. Let \(f_n(x) = \prod_{k=1}^n (x-x_k)\), \(-1 \leq x_1 \leq x_2 \leq \cdots \leq x_n \leq 1\), \(f'_n(x) = n \prod_{k=1}^{n-1} (x-y_k)\), \(-1 \leq y_1 \leq \cdots \leq y_n \leq 1\), then the following inequality is valid \[ |f_n(-1)| + |f_n(+1)| + \sum_{k=1}^{n-1} |f_n(y_k)| \leq 2^{n/k} \] in case \(k = 1\), \(k = 2\) resp. \(k > 2\) for each degree \(n\), for \(n\geq 3\) resp. for \(n\geq n_0(k)\). [The number \(n_0(k)\) is not computed.] If \(-1 = x_0 \leq x_1 \leq \cdots \leq x_{n+1} = 1\), \(\omega(x) = \prod_{k=1}^n (x-x_k)\), \(l_j(x) = \omega(x)/\omega'(x_j)(x-x_j)\), then there exists an index \(k\) with \[ \max_{x_k<x<x_{k+1}}\;\sum_{j=1}^n |l_j(x)| < n^{1 \over 2}. \] . If the polynomial \(f_n (x) = a_0x^n + a_1 x^{n-1}+\cdots + a_n\) has real entire coefficients, the zeros of \(f_n(x)\) are in the interval \((-1,+1)\) and \(f_n(-1) f_n(0) f_n(+1) \neq 0\), then \(|a_0| \geq 2^{n \over 2}\). (The condition for the zeros of \(f_n(x)\) has been dropped in the statement of the theorem but not in the proof.) If \(f_n (z)\) has real coefficients and \(|f_n(z)| < 1 \) in the interval \((-1,+1)\), then \(|f_n (z_0)| \leq |T_n(z_0)|\), if \(|z_0| > 1\) and \(T_n(z)\) is the Chebyshev polynomial of degree \(n\). The paper contains further inequalities for polynomials.

MSC:
26D05 Inequalities for trigonometric functions and polynomials
26C05 Real polynomials: analytic properties, etc.
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