Numbers of solutions of equations in finite fields. (English) Zbl 0032.39402

Weil, André

Bull. Am. Math. Soc. 55, 497-508 (1949).

Verf. knüpft grundlegende Betrachtungen und weitgehende Vermutungen an das Studium der Lösungsanzahlen von Gleichungen einer der beiden Formen
\[ a_0x_0^{m_0}+ a_1x_1^{m_1} + \ldots + a_rx_r^{m_r}= 0\text{ oder }1 \tag{1} \] in einem endlichen Körper \(k\) von \(q\) Elementen und in seinen Erweiterungskörpern \(k^{(\nu)}\) von \(q^\nu\) Elementen. Die Koeffizienten \(a_0,\dots,a_r\) sollen dabei Elemente \(\neq 0\) aus \(k\) sein und die Exponenten \(m_0, \dots, m_r\) natürliche Zahlen, von denen ohne wesentliche Einschränkung vorausgesetzt werden kann, daß sie Teiler von \(q-1\) sind. Für diese Besprechung sei einfachheitshalber nur der Spezialfall der ersten Gleichung (1) mit lauter gleichen Exponenten ins Auge gefaßt:
\[ a_0x_0^m+ a_1x_1^m + \ldots + a_rx_r^m= 0\quad (m\mid q-1), \tag{\(1_0\)} \]
den auch Verf. am Schluß zur Anknüpfung seiner Vermutungen zugrunde legt. Unter \(N\) sei die Anzahl der nicht-trivialen, zueinander nicht-proportionalen Lösungen von \((1_0)\) in \(k\) verstanden, unter \(N^{(\nu)}\) die entsprechende Anzahl in \(k^{(\nu)}\).
Im Spezialfall \(r = 2\) bestimmt \((1_0)\) einen algebraischen Funktionenkörper \(K\) vom Transzendenzgrad 1 über \(k\) als Konstantenkörper in singularitätenfreier homogener Erzeugung. In systematischer Einordnung älterer Ergebnisse in die arithmetische Theorie solcher Kongruenzfunktionenkörper kann man folgendes feststellen. \(N\) ist die Anzahl der Primdivisoren 1-ten Grades von \(K/k\) und \(N^{(\nu)}\) die entsprechende Anzahl für die Konstantenerweiterung \(K^{(\nu)}/k^{(\nu)}\). Bezeichnet \(N_f\) die Anzahl der Primdivisoren \(f\)-ten Grades \(\mathfrak p_f\) von \(K/k\), so hat man nach dem Zerlegungsgesetz der Primdivisoren bei Konstantenerweiterung \(N^{(\nu)} = \sum_{f\mid \nu} fN_f\). Daher hat die Zetafunktion
\[ \zeta_{K/k}(z)= \prod_{f=1}^\infty \prod_{\mathfrak p_f} \left(1-\mathfrak{Nm}(\mathfrak p_f)^{-s}\right) = \prod_{f=1}^\infty (1-z^f)^{-N_f} \]
(als Funktion von \(z = q^{-s}\) statt des gewöhnlichen Arguments \(s\) aufgefaßt) die logarithmische Ableitung
\[ \frac{d \log\zeta_{K/k}(z)}{d\log z}= \sum_{f,\mu=1}^\infty fN_fz^\mu = \sum_{\nu=1}^\infty N^{(\nu)}z^{(\nu)}, \tag{2} \]
d. h. es liegt in ihr die erzeugende Funktion für die Lösungsanzahlen \(N^{(\nu)}\) vor. Die Zetafunktion von \(K/k\) ist als Funktion von \(z\) rational, nämlich von der Form
\[ \zeta_{K/k}(z) =\frac{L(z)}{(1-z) (1-qz)}\text{ mit }L(z) = 1 + [N-(1+q)]z + \ldots + q^g z^{2g} = \prod_{\pi} (-\pi z), \tag{3} \]
wo \(g\) das Geschlecht von \(K/k\) ist. Demnach drückt sich die Lösungsanzahl \(N\) durch die \(2g\) Wurzeln \(\pi\) (in \(z^{-1})\) des Zählerpolynoms \(L(z)\) in der Form
\[ N = 1 + q - \sum_\pi \pi \tag{4} \]
aus. Für die Konstantenerweiterung \(K^{(\nu)}/k^{(\nu)}\) sind die entsprechenden Wurzeln die Potenzen \(\pi^\nu\), so daß also
\[ N^{(\nu)} = 1 + q^\nu- \sum_\pi \pi^\nu \tag{\(4_\nu\)} \]
gilt. Die Zetafunktion genügt der Funktionalgleichung
\[ \zeta(1/qz) = q^{-(g-1)} z^{-2(g-1)}\zeta(z). \tag{5} \]
(Zu alledem siehe H. Hasse (E. Artin und F. K. Schmidt) [Sitzungsber. Preuß. Akad. Wiss., Phys.-Math. Kl. 1934, No. 17, 250–263 (1934; Zbl 0009.29201)]). Die Wurzeln \(\pi\) haben sämtlich den absoluten Betrag \(|\pi| = q^{\frac12}\) [sog. Riemannsche Vermutung, neuerdings allgemein bewiesen vom Verf. [Sur les courbes algébriques et les variétés qui s’en déduisent. Actualités Scientifiques et Industrielles. 1041. Paris: Hermann (1948; Zbl 0036.16001)]. In diesen für beliebige Kongruenzfunktionenkörper \(K/k\) vom Transzendenzgrad 1 gültigen Aussagen ist im Spezialfall \(r = 2\) der Gleichung \((1_0)\) das doppelte Geschlecht \(2g\) gleich der Anzahl der Systeme multiplikativer \(m\)-ter Charaktere \(\chi_0, \chi_1, \chi_2\) von \(k\) mit
\[ \chi_0, \chi_1, \chi_2\neq 1,\quad \chi_0 \chi_1 \chi_2 = 1 \tag{6} \]
[explizit \(2g = (m-1) (m-2)]\), und die einem solchen Charaktersystem zugeordnete Wurzel \(\pi\) ist die Charaktersumme
\[ \pi(\chi_0, \chi_1, \chi_2)= -\frac{1}{q-1} \sum_{a_0u_0+a_1u_1+a_2u_2=0} \chi_0(u_0)\chi_1(u_1)\chi_2(u_2),\tag{7} \]
die sich durch die Gaußschen Summen
\[ \tau_a(\chi)=-\sum_t \chi(t) e^{\frac{2\pi i\mathfrak{Sp}(at)}{p}} \]
\((p\) die Charakteristik von \(k)\) in der Gestalt
\[ \pi(\chi_0, \chi_1, \chi_2)= \frac1q \tau_{a_0}(\chi_0)\tau_{a_1}(\chi_1)\tau_{a_2}(\chi_2)\tag{8} \]
darstellen läßt; die Nenner \(q-1\), \(q\) in (7), (8) lassen sich durch Elimination von \(\chi_0\) gemäß der letzten Relation (6) beseitigen [H. Davenport and H. Hasse, J. Reine Angew. Math. 172, 151–182 (1934; Zbl 0010.33803]. Die Darstellung (8) der Wurzeln \(\pi\) setzt wegen \(|\tau_a(\chi) = q^{\frac12}\) für \(\chi\neq 1\) die Riemannsche Vermutung für den betrachteten Spezialfall in Evidenz, was im übrigen auch durch eine ganz entsprechende Betragsbestimmung direkt aus (7) geschehen kann.
Verf. beweist nun im Falle der Gleichung \((1_0)\) mit beliebigem \(r\geq 2\) durch elementare Berechnung nach geläufigem Schema die zu (4), (7), (8) analogen Formeln
\[ N= (1+q+\ldots+q^{r-1}) - (-1)^r \sum_{_{\substack{ \chi_0,\dots,\chi_r\neq 1 \\ \chi_0\cdots\chi_r=1}}} \pi(\chi_0,\dots,\chi_r) \tag{9} \]
mit
\[ \pi(\chi_0,\dots,\chi_r) = -(-1)^r \frac1{q-1} \sum_{a_0u_0+\ldots+a_ru_r=0} \chi_0(u_0)\cdots\chi_r(u_r) = \frac1q \tau_{a_0}(\chi_0)\cdots \tau_{a_r}(\chi_r),\tag{10} \]
\[ \text{also} \quad |\pi|=q^{\frac{r-1}{2}}, \]
wo \(\chi_0,\dots,\chi_r\) die multiplikativen \(m\)-ten Charaktere von \(k\) mit den angegebenen, zu (6) analogen Bedingungen durchlaufen. (Im Falle der allgemeineren Gleichungen (1), wo die Lösungen inhomogen zu zählen sind, beweist er ganz analog gebaute Formeln, in denen \(\chi_0,\dots,\chi_r\) jeweils Charaktere mit \(\chi_0^{m_0},\ldots,\chi_r^{m_r}=1\) sind.) Um die entsprechenden Formeln für die \(N^{(\nu)}\) zu erhalten, benutzt er die von Davenport-Hasse a. a. 0. bewiesene Transformationsregel \(\tau_a(\chi^{(\nu)}) = \tau_a(\chi)^\nu\), wo \(\chi^{(\nu)}(t) = \chi(Nm(t))\) \((t\) in \(k^{(\nu)})\), für die er einen elementaren Beweis einschaltet (einen solchen siehe auch schon bei H. L. Schmid [J. Reine Angew. Math. 176, 189–191 (1937; Zbl 0016.00701)]); demnach sind analog zu \((4_\nu)\) in \((9)\) einfach \(q\) und die \(\pi\) durch \(q^\nu\) und die \(\pi^\nu\) zu ersetzen.
Als wichtigstes Ergebnis dieser Untersuchungen erhält Verf. in Verallgemeinerung von (2) einen Ansatz zur Definition der Zetafunktion des durch die Gleichung \((1_0)\) bestimmten algebraischen Funktionenkörpers \(K/k\) vom Transzendenzgrad \(n = r-1\) (algebraische Kongruenzmannigfaltigkeit der Dimension \(n)\), nämlich
\[ \frac{d\log\zeta_{K/k}(z)}{d\log(z)} =\sum_{\nu=1}^\infty N^{(\nu)}z^\nu=\sum_{\rho=0}^{r-1} \frac{q^\rho z}{1-q^\rho z} -(-1)^r\sum_{_{\substack{ \chi_0,\dots,\chi_r\neq 1\\ \chi_0\cdots\chi_r=1}}} \frac{\pi(\chi_0,\dots,\chi_r) z}{1-\pi(\chi_0,\dots,\chi_r) z}, \]
und somit in Verallgemeinerung von (3) durch Integration
\[ \zeta_{K/k}(z)=\frac{L(z)^{(-1)^r}}{\prod{\rho=0}^{r-1} (1-q^\rho z)}\quad\text{mit}\quad L(z)= \prod_{_{\substack{ \chi_0,\dots,\chi_r\neq 1\\ \chi_0\cdots\chi_r=1}}} (1-\pi(\chi_0,\dots,\chi_r) z). \]
Der Grad des entstandenen Polynoms \(L(z)\), also die Anzahl der Systeme \(m\)-ter Charaktere \(\chi_0,\dots,\chi_r\) von \(k\) mit \(\chi_0,\dots,\chi_r\neq 1\), \(\chi_0\cdots\chi_r=1\), sei mit \(A\) bezeichnet. Denkt man nun den Kongruenzfunktionenkörper \(K/k\) aus einem Funktionenkörper \(K^*/k^*\) mit algebraischem Konstantenkörper \(k^*\) und Grundgleichung der Form \((1_0)\) in \(k^*\) durch Restklassenbildung nach einem Primdivisor \(\mathfrak p\) von \(k^*\) mit \(\mathfrak{Nm}(\mathfrak p) = q\equiv 1 \bmod m\) entstanden, so bemerkt Verf., daß die Bettischen Zahlen \(B_\nu\) \((\nu = 0,\dots, 2n)\) der durch Koeffizientenerweiterung von \(K^*/k^*\) auf den komplexen Zahlkörper entstehenden kontinuierlichen algebraischen Mannigfaltigkeit durch die explizite Darstellung
\[ P(x) = \sum_{\nu=0}^{2n}B_\nu x^\nu= \sum_{\nu=0}^n x^{2\nu} + Ax^n \]
des zugehörigen Poincaréschen Polynoms gegeben sind, d. h. daß die fragliche Anzahl \(A\) (für gerades \(n\) um 1 vermehrt) die einzige von 1 verschiedene Bettische Zahl jener Mannigfaltigkeit ist; dies verallgemeinert die Bedeutung des doppelten Geschlechts \(2g\) als einzige nicht-triviale Bettische Zahl \(B_1\) der zugeordneten kontinuierlichen Mannigfaltigkeit im zuvor behandelten Spezialfall der Dimension \(n = 1\). Gestützt auf diese Ergebnisse über die Gleichung \((1_0)\), auf entsprechende Ergebnisse für die allgemeineren Gleichungen (1), sowie auf andere in der Arbeit nicht angeführte Beispiele, wird Verf. zur Aussprache der folgenden, grundlegenden und weittragenden Vermutungen geführt, die in jenen Spezialfällen und allgemein für \(n = 1\) zutreffen. Sei \(K/k\) eine beliebige singularitätenfreie algebraische Kongruenzmannigfaltigkeit der Dimension \(n\) und \(N^{(\nu)}\) die Anzahl ihrer in \(k^{(\nu)}\) rationalen Punkte. Dann ist die durch
\[ \frac{d\log \zeta_{K/k}(z)}{d \log z} = \sum_{\nu=1}^\infty N^{(\nu)} z^\nu \]
definierte Zetafunktion von \(K/k\) rational in \(z\), und zwar von der Gestalt
\[ \zeta_{K/k}(z) = \left(\prod_{\nu=0}^\infty L_\nu(z)^{(-1)^\nu}\right)^{-1} \]
mit \(L_0(z) = 1 - z\), \(L_{2n}(z) = 1-q^n z\) und ganzzahligen Polynomen
\[ L_\nu(z) = \prod_{i=1}^{B_\nu} (1-\pi_i z)\quad\text{mit}\quad |\pi_i| = q^{\nu/2}\qquad (\nu=1,\dots,2n-1) \]
von gewissen Graden \(B_\nu\) derart, daß die Zahl \(P(-1)=\sum_{\nu=0}^{2n} (-1)^\nu B_\nu\), die Euler-Poincarésche Charakteristik von \(K/k\) ist (definiert als die Schnittzahl mit sich selbst der sog. Diagonale des direkten Produkts \(K\times K)\). Überdies genügt diese Zetafunktion in Verallgemeinerung von (5) einer Funktionalgleichung
\[ \zeta(1/q^n z) = \pm q^{\frac{nP(-1)}{2}} z^{P(-1)} \zeta(z). \]
Zum Schluß bemerkt Verf. noch, daß diese Vermutungen für die Graßmannschen Mannigfaltigkeiten \(K\) (aller linearen Teilräume fester Dimension eines projektiven Raumes) über \(k\) bei entsprechender Herleitung wie oben aus kontinuierlichen Graßmannschen Mannigfaltigkeiten im Einklang mit einem früheren Ergebnis von C. Ehresmann [Ann. Math. (2) 35, 396–443 (1934; Zbl 0009.32903)] über deren Poincarésches Polynom \(P(x)\) stehen, indem er die zugehörigen Lüsungsanzahlen \(N^{(\nu)}\) und damit die Zetafunktion \(\zeta_{K/k}(z)\) explizit angibt.
Grundsätzlich ist zu der vom Verf. gegebenen Verallgemeinerung der Kongruenzzetafunktionen vom Transzendenzgrad 1 auf beliebigen Transzendenzgrad \(n\) zu sagen, daß dabei die Primdivisoren von \(K/k\) nicht in ihrer bewertungstheoretischen Definition (irreduzible Teilmannigfaltigkeiten der Dimension \(n-1)\), sondern als Restklassenhomomorphismen (Punkte, Dimension 0) verallgemeinert werden.

Reviewer: Helmut Hasse (Berlin)

MSC:

11T30	Structure theory for finite fields and commutative rings (number-theoretic aspects)
11R42	Zeta functions and \(L\)-functions of number fields
11R58	Arithmetic theory of algebraic function fields

Keywords:

finite fields; numbers of solutions of equations; Weil conjecture

Citations:

Zbl 0009.29201; Zbl 0036.16001; Zbl 0010.33803; Zbl 0016.00701; Zbl 0009.32903

References:

[1]	C. F. Gauss, Werke: (a) vol. I, pp. 445-449; (b) vol. II, pp. 67-92; (c) vol. X1, p. 571.
[2]	C. G. Jacobi, Gesammelte Werke: (a) vol. VII, pp. 393-400; (b) vol. VI, pp. 254-274.
[3]	V. A. Lebesgue: (a) J. Math. Pures Appl. vol. 2 (1837) pp. 253-292; (b) J. Math. Pures Appl. vol. 3 (1838) pp. 113-144.
[4]	G. H. Hardy and J. E. Littlewood, Some problems of ’Partitio Numerorum’: IV. The singular series in Waring’s Problem and the value of the number \?(\?), Math. Z. 12 (1922), no. 1, 161 – 188. · JFM 48.0146.01 · doi:10.1007/BF01482074
[5]	H. Davenport and H. Hasse, J. Reine Angew. Math. vol. 172 (1935) pp. 151-182.
[6]	L. K. Hua and H. S. Vandiver, On the existence of solutions of certain equations in a finite field, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 34 (1948), 258 – 263. · Zbl 0030.34202
[7]	L. Stickelberger, Ueber eine Verallgemeinerung der Kreistheilung, Math. Ann. 37 (1890), no. 3, 321 – 367 (German). · JFM 22.0100.01 · doi:10.1007/BF01721360
[8]	Charles Ehresmann, Sur la topologie de certains espaces homogènes, Ann. of Math. (2) 35 (1934), no. 2, 396 – 443 (French). · JFM 60.1223.05 · doi:10.2307/1968440