Absolutes in partially ordered groups. (English) Zbl 0033.10002

Fuchs, Ladislas

Proc. Akad. Wet. Amsterdam 52, 251-255 (1949); Indagationes Math. 11, 66–70 (1949).

Es werden angeordnete Gruppen untersucht, deren Elementen ein ,,Betrag” zugelegt wird. \(G\) sei eine additiv geschriebene, angeordnete Gruppe, das heißt in \(G\) existiere eine Beziehung \(\ge\) mit den folgenden Postulaten: \(a\ge a\); aus \(a \ge b\), \(b \ge a\) folgt \(a = b\); aus \(a\ge b\), \(b\ge c\) folgt \(a\ge c\); aus \(a\ge b\) folgt \(c+a+d \ge c+b+d\) für alle \(c, d\) aus \(G\); zu \(a, b\) gibt es ein \(c\) mit \(c\ge a\), \(c\ge b\). Mit \(U(x_1,\ldots,x_n)\) bzw. \(L(x_1,\ldots,x_n)\) seien die Teilmengen aller \(u\) bzw. \(v\) bezeichnet mit \(u\ge x_i\) bzw. \(v\ge x_i\) \((i = 1, \ldots, n)\).
Zwischen den Elementen aus \(G\) und den Komplexen \(U\), \(L\) oder zwischen diesen Komplexen allein läßt sich eine Addition definieren, für die eine Anzahl von Rechenregeln hergeleitet wird. Werden die Komplexe \(a^+ = U(a, o)\) und \(a^- = L(a, o)\) der ,,positive” und ,,negative Teil” von \(a\) genannt, so gibt dies Anlaß zu zwei Definitionen des Betrages eines Elementes aus \(G\):
Die erste Definition (1-absolute) ist \(\vert a\vert = a^+ - a^-\) und die zweite (2-absolute) \(\Vert a\Vert = U(a, -a)\). Die beiden Definitionen stimmen nur unter bestimmten Bedingungen überein, die Anordnung der Elemente in \(G\) muß ,,distributiv” und ,,normal” sein. Immer ist \(\vert a\vert = \vert -a\vert\) und \(\Vert a\Vert = \Vert -a\Vert\). Für jede positive ganze Zahl \(n\) gilt noch \(n \vert a\vert \subseteq \vert na\vert\) und \(n \Vert a \Vert \subseteq \vert na\Vert\), im allgemeinen also nicht das Gleichheitszeichen.

Reviewer: Wever (Göttingen)

MSC:

20F60	Ordered groups (group-theoretic aspects)
06F15	Ordered groups

Keywords:

partially ordered groups