On the homology and cohohomology of Lie algebras. (Sur l’homologie et la cohomologie des algèbres de Lie.) (French) Zbl 0033.15502

Koszul, Jean Louis

C. R. Acad. Sci., Paris 228, 288-290 (1949).

(Joint review for Zbl 0033.15502 and Zbl 0033.15503).
Soit \(\mathfrak a\) une algèbre de Lie sur un corps de caractéristique 0, \(\mathfrak a'\) le dual de \(\mathfrak a\) et, si \(x\in\mathfrak a\), \(\imath(x)\) l’opérateur \(\alpha'\to x\underline{\hfill}\vert \alpha'\) de \(\Lambda(\mathfrak a')\), \(e(x)\) l’opérateur \(y\to x \wedge y\) de \(\Lambda(\mathfrak a)\), transposé de \(\imath(x)\), \(\partial\) l’opérateur ,,bord” de \(\Lambda(\mathfrak a)\) défini par
\[ \partial(x_1\wedge\ldots \wedge x_p) = \sum_{i<j} (-i)^{i+j+1} [x_i,x_j] \wedge x_1\wedge\ldots \wedge x_p, \]
\(\delta\) l’opérateur de \(\Lambda(\mathfrak a')\) transposé de \(-\partial\). \(\delta\) est une antidérivation et \(\delta\delta = 0\); \(\delta\) définit donc sur \(\Lambda(\mathfrak a')\) une algèbre de cohomologie \(H(\mathfrak a)\) appelée l’algèbre de cohomologie de \(\mathfrak a\).
\(\theta_x = \imath(x) \delta + \delta\imath(x)\) est une dérivation de \(\Lambda(\mathfrak a')\) et \(\alpha' \in \Lambda(\mathfrak a')\) est dite invariante par \(\mathfrak b\subset \mathfrak a\) e si \(\theta_x(\alpha') = 0\) pour tout \(x\in\mathfrak b\). \(a\in H(\mathfrak a)\) est dit primitif si sa composante dans \(H^0(\mathfrak a)\) est nulle et si \(\imath(u)\cdot a\in H^0(\mathfrak a)\) pour tout \(u\in \mathfrak a\) tel que \(\partial(u) = 0\), invariant par \(\mathfrak a\) et dont la composante dans \(\Lambda^0(\mathfrak a)\) est nulle.
Une sous-algèbre \(\mathfrak b\subset \mathfrak a\) est dite réductive dans \(\mathfrak a\) si les \(\theta_x\) \((x\in\mathfrak b)\) forment une famille complètement réductible. Si \(\mathfrak a\) est réductive, \(\mathfrak a\) est produit d’une algèbre semi-simple et d’une algèbre abélienne; les composantes non nulles d’un élément primitif de \(H(\mathfrak a)\) sont de degré impair et l’isomorphisme identique du sous-espace \(P\) des éléments primitifs de \(H(\mathfrak a)\) se prolonge en un isomorphisme de \(\Lambda(P)\) sur \(H(\mathfrak a)\) [généralisation d’un théorème de H. Hopf, Ann. Math. (2) 42, 22–52 (1941; Zbl 0025.09303)].
[La démonstration s’appuie sur le lemme suivant: si \(\beta\in\Lambda^p(\mathfrak b)\) et si \(\alpha\in \Lambda(\mathfrak a)\) est invariant par \(\mathfrak b\), alors,
\[ \partial\cdot((\varphi\cdot\beta)\wedge \alpha) = (\partial\varphi\cdot\beta)\wedge \alpha + (-1)^p (\varphi\cdot\beta)\wedge (\partial\cdot\alpha), \]
\(\varphi\) homorphisme de \(\mathfrak b\) dans \(\mathfrak a\).]
Soit \(\mathfrak b\) une sous-algèbre de \(\mathfrak a\); si \(\varphi\) est l’isomorphisme de \(\mathfrak b\) dans \(\mathfrak a\), le noyau \(B_1\) de \(^t\varphi\) est engendré par l’ensemble \(R_1\) des \(x'\in \mathfrak a'\) orthogonaux à \(\mathfrak b\); soit \(L(\mathfrak a, \mathfrak b)\) la sous-algèbre de \(\Lambda\mathfrak a'\) formée par les éléments de \(\Lambda(R_1)\) invariants par \(\mathfrak b\); \(L(\mathfrak a, \mathfrak b)\) est stable pour \(\delta\) et \(\delta y\) définit une algèbre de cohomologie \(H(\mathfrak a, \mathfrak b)\) appelée l’algèbre de cohomologie de \(\mathfrak a\) relative à \(\mathfrak b\) (Cf. C. Chevalley et S. Eilenberg [Trans. Am. Math. Soc. 63, 85–124 (1948; Zbl 0031.24803)]; l’isomorphisme identique de \(L(\mathfrak a, \mathfrak b)\) dans \(\Lambda\mathfrak a'\) induit une représentation \(^t\tilde{\pi}\) de \(H(\mathfrak a, \mathfrak b)\) dans \(H(\mathfrak a)\). Si \(\mathfrak a\) est réductive, l’image de \(^t\tilde{\pi}\) est une sous-algèbre de \(H(\mathfrak a)\) engendrée par l’unité et des éléments primitifs [généralisation d’un théorème de Samelson [Ann. Math. (2) 42, 1091–1137 (1941; Zbl 0063.06680)]).
Soit \(N_0\), le noyau de \(^t\tilde{\pi}\) et \(N_1\subset N_0\), l’idéal formé par les classes d’éléments \(\alpha'\in L(\mathfrak a, \mathfrak b)\) tels que \(\delta\cdot \alpha' = 0\) et \(\alpha'\in \delta\cdot B_1\). Alors si \(\mathfrak b\) est réductive dans \(\mathfrak a\), il existe une application linéaire \(\rho\) de degré 1 du sous-espace \(Q\) des éléments primitifs de \(H(\mathfrak b)\) dans \(N_0/N_1\) telle que \(\rho^{-1}(0) = Q \cap ^t\tilde{\phi} H(\mathfrak a)\). Soit \(B_p = \Lambda^p(R_1)\); les \(B_p\) définissent sur \(\Lambda\mathfrak a'\) une structure d’algèbre différentielle filtrée à laquelle correspond une suite \((E_r)\) d’algèbres graduées [cf. H. Cartan, C. R. Acad. Sci., Paris 226, 148–150 (1948; Zbl 0034.25603)] et il existe pour tout \(r > 0\) un isomorphisme \(\varphi_r\) de \(E_r^0\) dans \(H(\mathfrak b)\) et on a
\[ H(\mathfrak B)\supset \ldots \supset \varphi_r\cdot E_r^0 \supset \varphi_{r-1}\cdot E_{r+1}^0\supset ^t\tilde{\phi}\cdot h(\mathfrak a). \]
Si \(\mathfrak b\) est réductive dans \(\mathfrak a\) et s’il existe des éléments primitifs de \(H(\mathfrak b)\) de degré \(p\) n’appartenant pas à l’image de \(H(\mathfrak a)\), alors l’opérateur bord de \(E_{p+1}\) n’est pas nul et applique \(E_{p-1}^0\) sur un sous-espace de \(E_{p+1}^{p+1}\) différent de \(0\). Si de plus \(\mathfrak a\) est reductive et s’il existe \(l\) éléments primitifs de degré \(p\) dans \(H(\mathfrak b)\) linéairement indépendants mod \(^t\tilde{\phi} \cdot H(\mathfrak a)\), alors toute base minimale de générateurs homogènes de H(a, b) contient au moins 1 éléments de degré p + 1 choisis dans le noyau de tom. Il existe donc des générateurs de degré pair dans \(H(\mathfrak a, \mathfrak b)\).
L’A. indique des applications au cas où \(\mathfrak a\) est l’algèbre d’un groupe de Lie compact \(G\) et \(\mathfrak b\) la sous-algèbre définie par un sous-groupe fermé de \(G\) homologue à zéro.

Reviewer: Jean Braconnier

MSC:

57T10	Homology and cohomology of Lie groups
57T15	Homology and cohomology of homogeneous spaces of Lie groups
17B55	Homological methods in Lie (super)algebras
17B56	Cohomology of Lie (super)algebras

Keywords:

homology; cohomology; Lie algebras

Citations:

Zbl 0025.09303; Zbl 0031.24803; Zbl 0063.06680; Zbl 0034.25603; Zbl 0033.15502; Zbl 0033.15503