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Certaines propriétés des séries de Taylor d’un ensemble au plus dénombrable de variables dans les corps valués complets et une démonstration structurale des formules de M. Pollaczek. I. (French) Zbl 0033.15602

Verf. betrachtet solche Körper \(K\), die in bezug auf eine nichtarchimedische Bewertung \(\vert\cdot\vert\) perfekt sind. Aus der schärferen Dreiecksungleichung \(\vert\alpha + \beta\vert \le \max(\vert\alpha\vert,\vert\beta\vert)\) folgt, daß eine unendliche Reihe \(\sum\alpha_n\) in \(K\) genau dann konvergiert, wenn \(\vert\alpha_n\vert \to 0\), woraus sich ergibt, daß Umordnung und Zusammenfassung von Gliedern der Reihe erlaubt sind. Substitution und Produkt von Reihen werden untersucht und die Reihe \(\sum A_n\) wird als Majorante der Reihe \(\sum\alpha_n\) definiert, wenn für jedes \(n\) \(\vert\alpha_n\vert \le \vert A_n\vert\) gilt. \(x_0\) heißt ein holomorpher Punkt einer Taylorschen Reihe, wenn diese in jedem Punkt eines zulässigen Parallelotops \(\vert x - x_0=\vert \le l\) mit dem Mittelpunkt \(x_0\) konvergiert. Es wird Kontinuität und Differenzierbarkeit Taylorscher Reihen behandelt und die Unizität bewiesen. Fortan wird angenommen, daß \(K\) ein algebraisch-abgeschlossener Körper mit der Charakteristik \(0\) ist und daß sein Restklassenkörper \(R\) eine Charakteristik \(p\ne 0\) hat. Die Reihen
\[ \log(1+x) = \frac{x}{1} - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \ldots \quad\text{und}\quad e^x = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \ldots \]
konvergieren dann und nur dann, wenn \(\vert x\vert < 1\) bzw. \(\vert x\vert < \lambda\), wo \(\lambda\) als \(\vert p^{1/(p-1)}\vert\) definiert ist. Ist \(z\) transzendent in bezug auf \(K\), so ist die Bewertung \(\vert\alpha^*\vert^*\) des Polynoms \(\alpha^* = \sum \alpha_iz^i\) \((\alpha_i\in K)\) als \(\max_i \vert\alpha_i\vert \lambda^i\) definiert. Nun konvergiert eine unendliche Reihe \(\alpha^* = \sum \alpha_iz^i\) \((\alpha_i\in K)\) im perfekten Erweiterungskörper \(K^*\) von \(K\) genau dann, wenn \(\vert\alpha_i\vert \lambda^i\to 0\). Die Reihe
\[ l_j(\gamma^*) = l_j(\alpha) = \left[ \frac{\partial^j\log [1+\sum_{i=0}^{+\infty} \alpha_i(e^v - 1)^i]}{\partial v^j}\right]_{v=0}\qquad (j = 1, 2, \ldots) \]
mit \(\gamma^* = 1 + \sum_{i=0}^{-\infty} \alpha_iz^i\) heißt die \(j\)-te Kummersche Derivierte; es wird bewiesen, daß ihr Holomorphiegebiet das offene Parallelotop \(\vert\alpha_i\vert<\lambda^i\) \((i = 0, 1, 2, \ldots)\) enthält. Der logarithmische Grenzwert \(L_j(\gamma^*)\) von Pollaczek ist durch \(\displaystyle L_j(\gamma^*) = \lim_{s\to +\infty} l_{jp^s}(\gamma^*)\) definiert. Verf. beweist, daß \(L_j(\gamma^*)\) die Summe einer (mindestens einen holomorphen Punkt besitzenden) Taylorschen Reihe ist, die für \(\vert\alpha_i\vert< d^{-i}\) \((i = 0, 1, 2, \ldots)\) konvergiert, sobald \(d>\lambda\) ist. \(L_j(\gamma^*)\) hängt nur von der Restklasse \(j\pmod{p-1}\) ab, der \(j\) angehört.

MSC:

12J27 Krasner-Tate algebras
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