On the reducibility of binomial congruences and on the bound of the least integer belonging to a given exponent mod \(p\). (English. Czech summary) Zbl 0033.16101

Schwarz, Štefan

Čas. Mat. Fys. 74, No. 1, 1-16 (1949).

Verf. gewinnt den Satz: Ist \([P]\) ein endlicher Körper mit \(P\) Elementen und der Charakteristik \(p\), so hat das Binom \(x^n- a\) \((a\ne 0\, \in K;\ p\nmid n)\) genau
\[ \sigma_k = \frac1k \sum_{t\mid k}{}'\, \mu\left(\frac{k}{t}\right) D_t \qquad (D_t = (n, P^t - 1)) \tag{1} \]
irreduzible Faktoren \(k\)-ten Grades in \([P]\), wobei man nur über die \(t\) mit \(a^{D'_t} = 1\) \(D'_t = (P^t - 1)/D_t]\) zu summieren hat. Den Beweis teilt er nur für den Fall \(P = p\) mit, aber der allgemeine Satz läßt sich ebenso leicht beweisen.
Als leichte Anwendungen betrachtet er die im wesentlichen bekannten wichtigen Spezialfälle (stets mit \(P = p\): \(n = p-1\), \(n = q\) (Primzahl), \(a = 1\), \(x^n - a = F_n(n)\) das \(n\)-te Kreisteilungspolynom.
Ferner drückt der Verf. (1) auch mit Hilfe von Charakteren aus und gewinnt so (wieder aus dem Fall \(P = p)\) folgenden Satz: Für die kleinste positive ganze Zahl \(g(p,l)\), die \(\bmod p\) zum Exponenten \(l\) gehört, gilt \(g(p,l) = O(l^{\varepsilon-1}p^{3/2})\), \((\varepsilon > 0)\).
Hiervon ist Fall \(l = p-1\) der Satz von Vinogradov über die primitiven Kongruenzwurzeln \(\bmod p\). Interessant ist nur der Fall, daß \(l\) von größerer Ordnung ist als ein \(p^{\frac12 + \varepsilon}\).
Als eine Anwendung des allgemeinen Falles wird noch ein Satz von H. Davenport [Q. J. Math., Oxf. Ser. 8, 308–312 (1937; Zbl 0018.10901)] über erzeugende Elemente der multiplikativen Gruppe von \([P]\) verallgemeinert.
Alles kommt elementar und überraschend leicht heraus. Ref. wird für (1) einen noch kürzeren Beweis mitteilen.

Reviewer: László Rédei (Szeged)

MSC:

11A07	Congruences; primitive roots; residue systems
11T30	Structure theory for finite fields and commutative rings (number-theoretic aspects)

Keywords:

reducibility of binomial congruences; bound of the least integer belonging to a given exponent mod p

Citations:

Zbl 0018.10901