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Nicht konstruktiv beweisbare Sätze der Analysis. (German) Zbl 0033.34102
Der Begriff der ,,konstruktiven Beweisbarkeit” wird dadurch definiert, daß 1. zum Beweis einer Existenzaussage das Tertium non datur nicht zugelassen wird, 2. Prädikate und Funktionen mit Hilfe rekursiver bzw. berechenbarer zahlentheoretischer Funktionen definiert werden (vgl. z. B. Hilbert-Bernays, Grundlagen der Mathematik). Mit Hilfe der Kleeneschen Konstruktion rekursiver Prädikate \(\mathfrak A(m,n)\) für die \((E\, x)\) \(\mathfrak A(m, x)\) kein berechenbares Prädikat ist, sowie eines neuen, ähnlichen Hilfssatzes wird u. a. bewiesen: 1. Es gibt eine rekursive Folge \(\varPhi(n)\)von rationalen Zahlen, die monoton und beschränkt ist, aber für die \(\lim_{n\to\infty} \varPhi(n)\) keine berechenbare reelle Zahl ist. 2. Es gibt eine rekursive stetige reelle Funktion \(f(x)\) und rationale Zahlen \(a, b\) mit \(f(a)=-1\), \(f(b)=+1\), aber \(f(x)\neq 0\) für jede rekursive reelle Zahl \(x\).

MSC:
03-XX Mathematical logic and foundations
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References:
[1] Proceedings of the London Mathematical Society 42 pp 230– (1937)
[2] DOI: 10.1007/BF01472200 · Zbl 0011.00303 · doi:10.1007/BF01472200
[3] DOI: 10.2307/2371045 · Zbl 0014.09802 · doi:10.2307/2371045
[4] Grundlagen der Mathematik I (1934) · JFM 60.0017.02
[5] Proceedings of the London Mathematical Society 48 pp 401– (1945)
[6] DOI: 10.1007/BF01565439 · Zbl 0014.19402 · doi:10.1007/BF01565439
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