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Zur Theorie der einfach transitiven Permutationsgruppen. II. (German) Zbl 0034.01601

Keywords:
Group theory
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Full Text: DOI EuDML
References:
[1] I. Schur, Zur Theorie der einfach transitiven Permutationsgruppen. Sitzungsberichte Preuss. Akad. Wiss., Berlin 1933, phys.-math. Kl., S. 598–623. Eine elementare Darstellung gibtW. A. Manning, On transitive groups that contain certain transitive subgroups. Bulletin Amer. math. Soc.45 (1939), S. 783–791.
[2] Schur, §2–3. Dort ist allerdings die Beziehung \(\tau _\varrho ^ * \in T\) nicht bervorgehoben. Diese ergibt sich z.B. daraus, daß die TransponierteV’ jeder MatrixV, die mit allen Matrizen einer gogebenen Permutationsgruppe \(\mathfrak{G}\) vertauschbar ist, die gleiche Eigenschaft hat, da \(\alpha ^ * = \Sigma \bar \alpha _H H^{ - 1} \) nebenG auch stetsG’=G enthält.
[3] Bei Zulassung komplexer Koeffizientena H wäre \(\mathfrak{H}\) zu setzen.
[4] Dieser Begriff deckt sich im wesentlichen, aber nicht ganz, mit dem des Stammrings, wie ihnSchur (§1) eingeführt hat. Ein Stammring ist ein Ring von Matrizen, der die Einheitsmatrix enthält und eine lineare BasisU 1 ...,U 1 mit der Eigenschaft besitzt, daß jedes dern 2 Matrixfelder bei genau einer MatrixU mit 1, bei allen anderen mit 0 besetzt ist. Abgesehen von der abstrakteren Formulierung verlangen wir an Stelle der Einheitsmatrix zu jeder Matrix die Transponierte.
[5] (1.1)–(1.3) sowie (1.7) rühren vonSchur (§1–3) her. (1.8) ist in Teil I dieser Arbeit, Math. Zeitschr.40 (1935), S. 582–587, für diejenigenS-Ringe bewiesen worden, die durch Einbettung von \(\mathfrak{G}\) in eine Permutationsgruppe \(\mathfrak{G}\) entstehen; auf die Allgemeingültigkeit hat mich HerrR. Kochendörffer aufmerksam gemacht.–Zusätzlich mag erwähnt werden, daß jederS-Ring T halbeinfach ist: Aus \(\alpha\)T\(\alpha\)=0 folgt \(\alpha\)*(\(\alpha\)\(\alpha\)*)*=0, \(\alpha\)\(\alpha\)*=0, \(\alpha\)=0.
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