Structure of genetic algebras. (English) Zbl 0034.02004

Schafer, R. D.

Am. J. Math. 71, 121-135 (1949).

Verf. verallgemeinert Resultate von I. M. H. Etherington [Proc. R. Soc. Edinb. 59, 242–258 (1939; Zbl 0027.29402; JFM 66.1209.01); Q. J. Math., Oxf. Ser. 12, 1–8 (1941; Zbl 0027.29401; JFM 67.0093.04); Proc. Edinb. Math. Soc., II. Ser. 6, 222–230 (1941; Zbl 0061.05302)] über gewisse in der Genetik auftretende nichtassoziative Algebren. Zu diesem Zweck verwendet er folgende Definition: Es sei \(\mathfrak A\) eine kommutative Algebra über dem Körper \(F\) und \(x\to \omega(x)\) ein Homomorphismus von \(\mathfrak A\) auf \(F\). \(\omega(x)\) heißt das „Gewicht“ von \(x\). \(T(\mathfrak A)\) sei, die „einhüllende“ Algebra der linearen Transformationen \(T\), die durch Rechtsmultiplikation der Elemente von \(\mathfrak A\) mit festen Elementen aus \(\mathfrak A\) erzeugt werden. Wenn die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms \(\vert \lambda I - T\vert\) nur durch die Gewichte \(\omega(x_i)\) von den \(x_i\) abhängen, heißt \(\mathfrak A\) eine „genetische“ Algebra. Diese Definition ermöglicht eine Strukturtheorie, in die die „train“-Algebren von Etherington sich einordnen.

Reviewer: Ernst Trost (Zürich)

MSC:

17D92

Genetic algebras

Keywords:

genetic algebras; train algebras; homomorphism; weight

Citations:

Zbl 0027.29402; Zbl 0027.29401; Zbl 0061.05302; JFM 66.1209.01; JFM 67.0093.04