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On the large sieve of Ju. V. Linnik. (English) Zbl 0034.02403
Verf. hat in seiner Arbeit „On the representation of even numbers as the sum of a prime and an almost prime number“ [Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. 12, 57–78 (1948; Zbl 0038.18601)] die Methode des großen Siebes von Linnik verallgemeinert und zur Herleitung bedeutender Sätze der analytischen Zahlentheorie benützt. Die vorliegende Arbeit stellt sich die Aufgabe, die Methode des großen Siebes wahrscheinlichkeitstheoretisch zu interpretieren und zu begründen. Es wird folgender Satz bewiesen:
Es sei eine Folge von natürlichen Zahlen \(n_1 < n_2 < \cdots < n_z < N\) gegeben. Es seien weiter \(f(p)\), \(Q(p)\) positive Funktionen mit \(f(p) < p\). Setzt man \(\tau = \min\frac{f(p)}{p}\), \(Q = \max Q(p)\) über alle \(p < \sqrt[3]{\frac{N}{12}}\), und ist \(z(p, k)\) die Anzahl der \(n_j\), welche \(\equiv k(p)\), so gilt für alle \(p < \sqrt[3]{\frac{N}{12}}\), ausgenommen höchstens \(\frac{2NQ^2}{z\tau}\)
\[ \left\vert z(p,k) - \frac{z}{p}\right\vert < \frac{z}{pQ(p)} \]
für jeden Rest \(k\), ausgenommen höchstens \(f(p)\) solche.
Dieser Satz besagt, daß die \(n_j\) „fast gleichverteilt“ auf die verschiedenen Restklassen mod \(p\) für „fast alle“ \(p < \sqrt[3]{\frac{N}{12}}\) aufgeteilt sind.
Einige Verallgemeinerungen werden noch angedeutet.

MSC:
11N35 Sieves
11K99 Probabilistic theory: distribution modulo \(1\); metric theory of algorithms
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Full Text: Numdam EuDML