On the main theorem of the Minkowski geometry of numbers. (English) Zbl 0034.02608

Jarník, Vojtěch

Čas. Mat. Fys. 73, 1-8 (1948).

\(K\) sei eine zum Nullpunkt symmetrische konvexe beschränkte Fläche vom Inhalt 4, von stetig gekrümmter Berandung mit einem Mindestkrümmungsradius \(\rho\). \(\tau_1\) und \(\tau_2\) seien die kleinsten Zahlen derart, daß \(\tau_i K\) außer dem Nullpunkt noch einen bzw. noch zwei linear unabhängige Gitterpunkte enthält. Dann ist:
\[ \tau_1\tau_2 \le \left[1 +\left(1 - \frac{\tau_1}{\tau_2}\right) \delta\rho^2 + \frac{\tau_1}{\tau_2}\varepsilon\rho^2\right] : \left [(1 + \delta\rho^2) (1 + \varepsilon\rho^2)\right ], \]
wo \(\delta = \frac12 \sqrt{3} - \frac{\pi}{4}\) und \(\varepsilon = 1 - \frac{\pi}{4}\).
Es stellt dies eine Verschärfung einer Abschätzung von J. G. an der Corput und H. Davenport [Nederl. Akad. Wet., Proc. 49, 701–707 (1946); Indag. Math. 8, 409–415 (1946; Zbl 0060.11210)] dar, die sich nur auf \(\tau_1\) bezog und mit der neuen für \(\tau_1= \tau_2\) übereinstimmt.

Reviewer: Ott-Heinrich Keller (Dresden)

MSC:

11H06

Lattices and convex bodies (number-theoretic aspects)

Keywords:

symmetric convex bounded surface; lattice points

Citations:

Zbl 0060.11210