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Über die erste Randwertaufgabe bei regulären Variationsproblemen. II. (Abänderung der Randwerte.). (German) Zbl 0035.06701
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Full Text: DOI EuDML
References:
[1] Über die erste Randwertaufgabe bei regulären Variationsproblemen. I. (Existenz der Lösung.) Diese Zeitschrift,51, S. 712–751. · Zbl 0035.06604
[2] Diese Bedingung besagt, daß bei kleinem {\(\Delta\)} (R 0,R) die KurvenR 0 undR sich nur wenig unterscheiden, d.h. auseinander durch eine kleine topologische Deformation hervorgehen (insbesondere bestehen dannR 0 undR aus gleich vielen Komponenten, die wegen Eigenschaft I, 1 einfach geschlossene Kurven sind).
[3] Dies bedeutet, daß die KurvenR mit {\(\Delta\)}(R 0,R)<gleichmäßig glatt sind.
[4] C. R. Morrey jr., Transact. Amer. Math. Soc.43 (1938), S. 126–166. · JFM 64.0460.02
[5] Für eine beliebige MengeP und ein beliebiges {\(\delta\)}>0 bezeichnen wir mitP ({\(\delta\)}) die Menge aller Punkte mit Abständen <{\(\delta\)} vonP. Die MengeP ({\(\delta\)}) ist offen und enthält P. Wir nennenP({\(\delta\)}) die {\(\delta\)}-Umgebung vonP.
[6] Genauer: {\(\epsilon\)},r undc können als beliebig kleine positive Zahlen undd kann als beliebig große positive Zahl <D gewählt werden.
[7] L(X, Y, X 1, Y1) sei der Kreis durch (X, Y) um (X 1, Y1). Mit P bezeichnen wir allgemein eine Kugel mit der Eigenschaft, daß der Punkt (X, Y, Z) auf der unteren Hälftez=U(x, y) dieser Kugel liegt und \(\frac{{\partial U}}{{\partial x}}(X,Y) = \tilde \alpha \) und \(\frac{{\partial U}}{{\partial y}}(X,Y) = \tilde \beta \) ist.
[8] Zur Definition von d(R00) vgl. die Eigenschaft 6.
[9] vgl. auch I, S. 749, achte Zeile von unten.
[10] T. Radó, Math. Ann.101 (1929) S. 626. Vgl. auch I, Fußnote17).
[11] Vgl. zu diesem BeweisA. Haar, Math. Ann.97 (1917) S. 124–158 und Hamburger Abhandlungen,8 (1931) S. 1–31, sowie I, Beweis des Satzes 1. · JFM 52.0710.02
[12] k 0 + (x, y, x1, y1, {\(\tau\)}) ist die Funktionk +(x, y, x1, y1, {\(\tau\)}) fürK=K 0 undr(x, y)=r 0(x, y) (es ist [(x, y) 0,z=r 0(x, y)] die KurveR 0), alsof +(x, y, R0, d4)=Mink 0 + (x, y, x1, y1, d4).
[13] Sinda, b undc drei Zahlen mita, so nennen wirb die mittlere.
[14] Endgültig fixieren werden wir {\(\delta\)} erst auf S. 19. Bis dahin sei also {\(\delta\)} eine beliebige, aber noch nicht fest gewählte Zahl mit 0<{\(\delta\)}1.–Die im folgenden auftretenden Zahlenr 0-r5 werden von {\(\delta\)} unabhängig sein (dies ist wichtig, da wir {\(\delta\)} mittelsr 5 fixieren werden).
[15] \(\frac{\partial }{{\partial n}}\) ist die Ableitung in der Richtung von (X 1, Y1) nach (x, y).
[16] |t| bedeute die nichtorientierte Tangente anL in (X, Y).
[17] Unsere bisherigen Überlegungen von ”Zweitens” (S. 11) an gelten für jedes {\(\delta\)} mit 0<{\(\delta\)}1 (vgl. Fußnote 14). Durch die obige Fixierung von {\(\delta\)} sind jetzt auch 2=2({\(\delta\)}) und 2=3({\(\delta\)}) fixiert.
[18] Wegen limR i=R ist auch limG i=G und daher auch jedesŌ n in fast allenG i enthalten.
[19] Dabei ist jedesŌ n i. a. im Definitionsbereich nicht aller, sondern nur fast aller Funktionen der Diagonalfolge enthalten.
[20] Im Beweis von I, Satz 17 wird die Voraussetzung betr. die BegrenzungG * vonG, die für unser G0 nicht erfüllt zu sein braucht, nur dazu gebraucht, nachzuweisen, daßH(x, y) in G liegt, d. h. in G eine lokale Dehnungsschranke <D hat. In unserem Fall hatH(x, y) inG und daher auch in G0 die lokale Dehnungsschranked<D, wie oben festgestellt wurde. Also gilt die Behauptung von I, Satz 17 für unserG 0.
[21] Dieses Beispiel hätte in den Teil I dieser Arbeit gehört.
[22] Definition der zugelassenen Kurven: I, 714.
[23] Die Flächez=z(x, y) liegt zwischen den Flächenz=z’(x, y) undz=z”(x, y), wennz’(x, y)(x, y)”(x, y) ist.
[24] {\(\nu\)} durchläuft stets die Zahlen 0, 1, 2,..., hingegenn die Zahlen 1, 2,....
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