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Über halbgeordnete Gruppen. (German) Zbl 0035.29303

Keywords:
Group theory
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Full Text: DOI EuDML
References:
[1] Vgl. hierzu vor allem den Idealbericht (Erg. d. Math. Bd. 4, 1935) und die ”Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche” in der Math. Z. vonW. Krull.
[2] Vgl.P. Lorenzen, Math. Z. 45, 1939.
[3] Vgl. hierzu vor allem den Idealbericht (Erg. d. Math. Bd. 4, 1935) und die ”Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche” in der Math. Z. vonW. Krull.
[4] Diese Definition ist eine begriffliche Fassung der im Kommutativen üblichen Definition.
[5] \(\bar \in \) steht für: nicht {\(\epsilon\)}.
[6] ..., ...... bedeutet, daß die Konjunktion der Aussagen links von die Aussage rechts von impliziert. ...... bedeutet die Äquivalenz zweier Aussagen.
[7] Der g. g. T. ist zwar nicht eindeutig bestimmt, aber für zwei elementec 1 undc 2, die die obigen Bedingungen erfüllen, gilt stetsc 1 2.
[8] Für zwei Elementee 1 unde 2, die die Bedingung erfüllen, gilte 1=e 1 e 2=e 2. Also gibt es genau ein Elemente, das der Bedingung genügt. Wir nennen es das Eins-Element 1.
[9] Für kommutative Verbandsgruppen schon vonDedekind bewiesen.
[10] Entsprechend ist der Nenner des g. g. T. zweier Elemente gleich dem k. g. V. der Nenner. Satz 5 gilt natürlich auch für mehr als zwei Elemente.
[11] Vgl. z. B. die verbandstheoretische Arbeit über den Verfeinerungssatz vonO. Ore, Ann. math. Princeton, II, 36, 1935.
[12] Ersichtlich ist jede kommutative Verbandsgruppe regulär.
[13] Die vollständigen invarianten Unterhalbgruppen treten an die Stelle der ”vollständigen multiplikativ abgeschlossenen Systeme” in der kommutativen Theorie.
[14] Mit bezeichnen wir die zulässige Ordnung, die \.g entspricht.
[15] S entspricht eine zulässige Halbgruppe \.g. \.g entspricht eine Halbordnung. Diese Halbordnung bezeichnen wir mit
[16] Dieser Wohlordnungsschluß ist immer derselbe, vgl. z.B. N. Bourbaki Actual Scient. et Ind., Nr. 846.
[17] Vgl.H. Prüfer, J. reine angew. Math. 168, 1932.
[18] bezeichnet die mengentheoretische Vereinigung.
[19] Dasr {\(\alpha\)}-System stimmt für kommutative Gruppen mit dem in 2) definiertenr {\(\alpha\)}-System überein, wie in § 6 bewiesen wird.
[20] Statt Satz 19 kann man jetzt auch beweisen: Eine IdealgruppeV vonG ist genau dannr-zulässig, wennV regulär ist und ein Idealsystem vonG enthält, das zumr-System homomorph ist.
[21] Gilt die Abhängigkeit in der zugehörigen Halbgruppe g, so unterlassen wir die Angabe von g.
[22] Vgl. hierzu den Beweis in der Einleitung.
[23] g bezeichnet wieder die zugehörige Halbgruppe.
[24] Vgl.R. Baer, J. reine angew. Math. 160, 1929.
[25] Vgl. z.B. H. Cartan. Bull. Sc. Math. II, Band 63, 1939.
[26] Vgl. z.B. N. Bourbaki, Actual. Scient. et. Ind., Nr. 846.
[27] Gilta, so gilta für jede Ordnung Da auch eine Ordnung ist, gilt aucha, d. h.a . Hieraus folgta .
[28] Die entsprechende Ordnung vonH bezeichnen wir mit
[29] Die Umkehrung dieses Satzes ist trivial. Also ist Satz 7 für kommutative Gruppen gleichwertig mit Satz 4.
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