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Analytic functions of several complex variables. Lectures delivered at the Institute for Advanced Study during the Fall Term of 1948. Notes by P. T. Bateman. (English) Zbl 0036.05004
Princeton, N. J.: Institute for Advanced Study. XII, 200 p. (1949).
Die vorliegende Ausarbeitung ist nach einer Vorlesung hergestellt, die Verf. in den Jahren 1948–1949 am Institute for Advanced Study gehalten hat. Es wird ein systematischer Aufbau der Theorie der \(2n\)-fach periodischen und automorphen Funktionen von \(n\) komplexen Veränderlichen gegeben. Die Darstellung zeichnet sich durch besondere Klarheit und Geschlossenheit aus, sie enthält neue wesentliche Gesichtspunkte und zahlreiche neue Ergebnisse.
Einleitend werden funktionen-theoretische Grundlagen behandelt, insbesondere die Teilbarkeitstheorie der Potenzreihen und der Cousinsche Problemkreis. Der erste Hauptteil ist der Theorie der \(2n\)-fach periodischen meromorphen Funktionen von \(n\) komplexen Veränderlichen gewidmet. Ausgehend von der Darstellbarkeit meromorpher Funktionen duch Quotienten regulärer ganzer Funktionen wird gezeigt, daß für \(2n\)-fach periodische meromorphe Funktionen Zähler und Nenner dieser Quotienten als Jacobische Funktionen gewählt werden können. Daraus ergeben sich die Periodenrelationen als notwendige und hinreichende Bedingungen für die Existenz von Abelschen Funktionen. Sodann werden die Beziehungen hergeleitet zwischen den Körpern der Abelschen Funktionen und den zu algebraischen Mannigfaltigkeiten gehörenden Funktionenkörpern. Schließlich wird ein auf Lefschetz zurückgehender topologischer Beweis für das Bestehen der Periodenrelationen gegeben.
Der zweite Hauptteil behandelt die Theorie der automorphen Funktionen in beschränkten Gebieten \(D\) des Raumes mehrerer komplexer Veränderlichen. Nach Erörterung bekannter Eigenschaften diskontinuierlicher Gruppen werden insbesondere solche Gruppen \(\Gamma\) betrachtet, für welche die Gebiete \(D\pmod\Gamma\) kompakt sind, d.h. zu denen geschlossene Fundamentalbereiche gehören. Die Gebiete \(D\) sind dann Regularitätsgebiete, da sie von innen durch Polyederbereiche approximierbar sind. Mit Hilfe Poincaréscher Thetareihen wird die Existenz von \(n\) unabhängigen zugehörigen automorphen Funktionen nachgewiesen und sodann gezeigt, daß \(n+1\) solcher Funktionen algebraisch abhängig sind. Nach diesen allgemeinen Untersuchungen wird die Theorie für spezielle Gebiete \(D\) weiter entwickelt. Verf. beschränkt sich auf die von É. Cartan angegebenen homogenen und symmetrischen Gebiete, für die (vor allem vom Verf.) eine Theorie der analytischen Automorphismen entwickelt wurde. Speziell wird die Modulgruppe \(p\)-ten Grades behandelt und ihr Fundamentalbereich konstruiert.
Inhalt: I. Divisiblity of power series. II. Cousin’s problems. III. Two lemmas. IV. Periodic functions. V. Difference equations. VI. Periodic relations. VII. Theta functions. VIII. The field of Abelian functions. IX. An excursion into topology. X. Automorphic functions. VI. Existence of discontinuous groups. XII. The modular group of degree \(p\).

MSC:
32-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to several complex variables and analytic spaces
11Fxx Discontinuous groups and automorphic forms
32Nxx Automorphic functions