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Remarks on the size of \(L(1,\chi)\). (English) Zbl 0036.30702
Es sei \(\chi\) ein Restcharakter mod \(k\) (\(\neq\) Hauptcharakter), dann wird \(L(1, \chi)\) betrachtet. Es ist bekannt: \(|L(1,\chi)| < \log k\). Die Verff. zeigen (Satz 2): Es ist \[ |L(1,\chi)| < {10 \over 3} {\varphi(k) \over k} \log k+1 \] und für großes \(k\), \[ < {7\over 4} {\varphi(k) \over k} \log k. \] Dies ist eine Verschärfung, wenn \(k\) viele verschiedene kleine Primfaktoren enthält. Beim Beweis wird von dem Satz von Mertens, dem Primzahlsatz und den Resultaten von J. B. Rosser [Proc. Lond. Math. Soc. (2) 45, 21–44 (1939; Zbl 0019.39401, JFM 64.0100.04)]; Am. J. Math. 63, 211–232 (1941; Zbl 0024.25004, JFM 67.0129.03) Gebrauch gemacht.
Der Hauptteil der Arbeit beschäftigt sich mit einer Vertiefung der Untersuchungen von S. Chowla [ Proc. Lond. Math. Soc. (2) 50, 423–429 (1949; Zbl 0032.11006)]. Es werden jetzt nur reelle primitive Charaktere \(\chi(n) = (d/n)\) (Kronecker Symbol, \(d\) Fundamentaldiskriminante) betrachtet. Ist \(k = q \equiv 1(4)\), (\(g\) Primzahl), dann ist \(d=q\), ist \(q\equiv -1(4)\), dann ist \(d = -q\). Es gilt für \(L(1,\chi) = L_d(1)\):
(Satz 1): Durchläuft \(q\) alle Primzahlen \(\equiv 1(4)\) bzw. \(\equiv -1 (4)\), dann ist \[ \varlimsup_{q \to \infty} {L_d (1) \over \log \log q} \geq {1 \over 18}e^C,\quad \varliminf_{q \to \infty} (\log\log q) L_d (1) \leq {18 \over 6} \pi^2 e^{-C}. \] (\(C\) Eulersche Konstante). In beiden Fällen ist \(L_d(1) = \sum_{n=1}^\infty (n/q) 1/n\).
Aus diesem Satz kann gefolgert werden: \(\max \sum_{n=1}^m (n/q) = \Omega_R (q^{1 \over 2} \log \log q)\), was bereits früher von S. Chowla [J. Indian Math. Soc. 19, 279–284 (1932; Zbl 0006.25403, JFM 58.0193.01); Tôhoku Math. J. 39, 248–252 (1934; Zbl 0009.25301, JFM 60.0153.03) unter Verwendung der erweiterten Riemannschen Vermutung gezeigt wurde.
Der Beweis von Satz 1 ist sehr kompliziert. Benützt wird die Arbeit von A. Page [Proc. Lond. Math. Soc. (2) 39, 116–141 (1935; Zbl 0011.14905, JFM 61.1070.01)] über Primzahlen in arithmetischen Reihen und ein Lemma von A. Rényi [J. Math. Pures Appl. (9) 28, 137–149 (1949; Zbl 0033.16201)]. Um z. B. den ersten Teil des Satzes (etwa für \(q \equiv 1(4))\) zu zeigen, wird eine Menge \(\gamma = \gamma(x)\) von solchen Primzahlen, welche \(\leq x\) sind, konstruiert (für ihre Definition sei auf die Arbeit verwiesen), für die gezeigt wird: \[ \sum_{q\varepsilon \gamma} \log L_q(1) \geq 8 \log\log\log x+S(C-\log 18)+o(S) \qquad (x\to \infty ), \] wo \(S\) die Anzahl der Primzahlen in \(\gamma\) ist.
Die Hauptschwierigkeit liegt dabei in der Abschätzung von \(R=\sum_{q\in \gamma}\, \sum_{p>y} (p/q) 1/p\), wo das Lemma von Rényi eine wichtige Rolle spielt.

MSC:
11M20 Real zeros of \(L(s, \chi)\); results on \(L(1, \chi)\)
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