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Le superficie algebriche, con prefazione di G. Castelnuovo. (Italian) Zbl 0036.37102
Bologna: Nicola Zanichelli. xvi, 464 p. (1949).
L’ouvrage posthume d’Enriques résume, comme le dit fort bien Castelnuovo, dans sa préface l’essentiel de sa contribution à l’édification de la géométrie algébrique; on doit vivement regretter que la mort prématurée de l’A. ne lui ait pas permis de revoir personnellement l’ouvrage et que le temps de son élaboration n’ait pas permis de prendre connaissance de certains résultats non encore parvenus en Italie. Il y a lieu de se féliciter du dévouement de Pompilj et Franchetta qui ont accepté la lourde tâche de remettre en ordre les manuscrits, parfois de les compléter ou de les émender, il est vrai aidés de l’appui autorisé de Castelnuovo.
La théorie générale des systèmes linéaires est exposée en 4 chapitres de manière sensiblement analogue à l’ancien Enriques-Campedelli [Lezioni sulla teoria delle superficie algebriche. Padova (1932; Zbl 0005.40901)], mais traitée plus à fond et de manière très rigoureuse. Sont à noter les développements sur les courbes exceptionnelles parties fixes du système canonique, sur la régularité du système adjoint en particulier du bicanonique, points de départ de résultats récents de A. Franchetta [Rend. Mat. Appl., V. Ser. 7, 327–367 (1948; Zbl 0035.22303); Atti Accad. Naz. Lincei, VIII. Ser., Rend., Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. 6, 685–687 (1949; Zbl 0035.22401)].
Le chapitre V reprend la \(1^\circ\) partie du second volume de l’Enriques-Campedelli [Rend. Semin. Mat. Fac. Sci. Univ. Roma, III. Ser. 1, No. 2, 7–190 (1934; Zbl 0010.21910)] en y tenant compte des objections de O. Zariski [Algebraic surfaces. Berlin: Julius Springer (1935; Zbl 0010.37103)] sur le calcul des modules. L’A. introduit également l’étude des formes limites de la courbe de diramation d’un plan multiple selon la méthode de O. Chisini [Atti Accad. Naz. Lincei, Rend., VI. Ser. 19, 688–693 (1934; Zbl 0009.40704); ibid. 19, 766–772 (1934; Zbl 0009.40705); ibid. 27, 535–537 (1938; Zbl 0019.36801); ibid. 29, 460–466 (1939; Zbl 0022.16201)] méthode dont il espérait beaucoup plus qu’il n’a été jusqu’ici possible d’obtenir.
Le théorème de Castelnuovo sur la rationnalité des surfaces fournit la matière du Ch. VI, alors que le VII est consacré à l’étude des surfaces de genre linéaire unité; il est à noter que le §4 qui reprend des résultats antérieurs dans le cas \(P > 1\) n’arrive pas à la solution complète du problème à laquelle vient seulement de parvenir F. Gaeta [Atti Accad. Naz. Lincei, VIII. Ser., Rend., Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. 8, 570–575 (1950; Zbl 0039.37601)]. Les surfaces canoniques font l’objet du chapitre suivant; les premiers types seuls sont ici étudiés sous certaines hypothèses restrictives; il reste là un champ de recherches, telles les récentes de P. Burniat [Atti Accad. Naz. Lincei, VIII. Ser., Rend., Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. 8, 203–207 (1950; Zbl 0037.23101)].
L’étude des systèmes continus sur une surface irrégulière et le fameux théorème d’Enriques énoncé en 1904 mais dont seule la démonstration transcendante d’Henri Poincaré reste inattaquable, constitue l’essentiel du Ch. VIII. Enriques qui dans de nombreux mémoires a cherché à lever les difficultés du problème reprend à nouveau toute la question en exposant le déroulement historique et exposant le schéma des tentatives avortées de lui-même, de Severi, de B. Segre. Dans le cas du genre géométrique nul il donne une démonstration satisfaisante à partir de la déficience de la série caractéristique d’un système linéaire et de la construction d’un système continu au moins \(\infty^p\); dans le cas général la difficulté est de montrer que la série caractéristique coupée sur une courbe par toutes celles du système continu est complète. L’A. fait alors une intéressante discussion critique pour montrer que la propriété à démontrer est intégrale alors que toutes les démonstrations qui ont été tentées ne sont que différentielles. Pour surmonter la difficulté Enriques propose la construction de courbes décomposées infiniment voisines dans les voisinages d’ordres successifs, mais cette méthode ne paraît pas arriver à la rigueur désirable. Le problème de cette démonstration algébro-géométrique reste donc ouvert. Une étude rapide du système paracanonique relève une erreur de l’A. et pose le problème non encore résolu de la dimension de ce système continu et de celle des systèmes linéaires qui y sont contenus. Une intéressante digression sur les variétés de Picard montre tout l’intérêt que pourrait avoir leur emploi systématique dans l’étude des surfaces irrégulières. A cette digression on peut rattacher les inégalités de Castelnuovo–de Franchis et leurs conséquences dont une démonstration géométrique est encore à chercher.
Les deux derniers chapitres reprennent et développent la classification des surfaces particulièrement de genre zéro comme elles apparaissent dans l’Enriques-Campedelli (II). A noter la réfutation d’une objection de H. Geppert [Zbl. 2, 410) qui proposait d’utiliser \(P_{24}\) au lieu de \(P_{12}\).
En résumé on peut souhaiter que soit proche le jour où comme le dit Castelnuovo au terme de sa préface: “il trattato di Federigo Enriques sara letto e meditato come il resoconto di un’esplorazione in un territorio doue moite gemme sono già state raccolte e molte altre attendono che sia degno di scoprirle”.

MSC:
01A75 Collected or selected works; reprintings or translations of classics
14-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to algebraic geometry