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On the kinetic theory of rarefied gases. (English) Zbl 0037.13104
Gegenstand der Arbeit ist die kinetische Gastheorie eines einatomigen Gases mit einer Komponente und ihre Durchführung mittels der Boltzmannschen Fundamentalgleichung und des Stoßzahlansatzes. Sie setzt sich kritisch mit den in dieser Theorie gemachten Grundannahmen auseinander und zeigt einen neuen Weg, um zu höheren Näherungen für die Lösung der Boltzmannschen Fundamentalgleichung zu gelangen. Während die bisherigen höheren Näherungen, auch wenn man sie beliebig weit treibt, nur die thermodynamischen Begriffe enthalten und so nur einen kleinen Teil der Mannigfaltigkeit von Lösungen der Boltzmannschen Fundamentalgleichung approximieren, wird hier eine Folge von Näherungen angegeben, welche wesentlich allgemeiner sind. Die leitende Idee ist, die molekulare Verteilungsfunktion im Phasenraum als Funktion der Geschwindigkeit der Hermiteschen Orthogonalfunktionen von drei Veränderlichen zu entwickeln und diese Entwicklung an einer bestimmten Stelle abzubrechen; die Entwicklungskoeffizienten werden als Zufallsvariablen gewählt; die thermodynamischen Variablen kommen in der Gewichtsfunktion vor welche Polynome definiert, und sind stets in den Variablen enthalten. Die ersten Koeffizienten sind im wesentlichen die Spannungen und der Wärmestrom; sie spielen also hier die Rolle unabhängiger Variablen mit eigenen .Anfangswerten und eigenen Differentialgleichungen. Insbesondere existiert keine universelle Beziehung, welche die Spannungen und den Wärmestrom durch die thermodynamischen Variablen und ihre Gradienten beliebiger Ordnung ausdrückt.
Die Entwicklung bis zu den Hermiteschen Polynomen dritten Grades wird eingehend untersucht und die zugehörigen makroskopischen Gleichungen, welche die üblichem aerodynamischen Gleichungen verallgemeinern, werden aufgestellt; sie stellen ein in sich geschlossenes Gleichungssystem dar und enthalten beispielsweise die Relaxationen der Spannungen und des Wärmestroms aber auch den unter besonderen Bedingungen gültigen Zusammenhang zwischen Spannungen und Wärmestrom einerseits, den Geschwindigkeits- und Temperaturgradienten bis zur zweiten Ordnung andererseits. Die Proportionalität des Wärmestroms mit dem Temperaturgradienten gilt nur mehr unter besonderen Bedingungen.
Die Charakteristiken und die Grenzbedingungen dieses erweiterten Systems von Differentialgleichungen werden ausführlich untersucht. In dieser Näherung wird auch das H-Theorem formuliert, welches aber hier nicht für die Gleichgewichtsentropie, sondern für einen verallgemeinerten Ausdruck gilt.
Der Anhang enthält u. a. die Berechnung der speziellen Lösungen der Boltzmannschen Fundamentalgleichung, deren Geschwindigkeitsverteilung an jeder Stelle eine Maxwellsche ist, mathematische Ergänzungen und eine Abschätzung der Genauigkeit der durchgeführten dritten Näherung.
Reviewer: Josef Meixner

MSC:
35Q20 Boltzmann equations
76P05 Rarefied gas flows, Boltzmann equation in fluid mechanics
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