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Invariant means in semigroups and their applications. (Les moyennes invariantes dans les semi-groupes et leurs applications.) (French) Zbl 0037.15501
Soit \(G\) un semi-groupe topologique (monoïde dans lequel la multiplication est fonction continue des deux variables), \(C\) l’espace de Banach des fonctions numériques continues et bornées dans \(G\). Pour tout \(s\in G\) et toute \(f\in C\), \(_sf\) (resp. \(f_s\)) désigne la fonction \(x \to f(sx)\) [resp. \(x \to f(xs)\)]; une moyenne invariante à gauche (resp. à droite) sur \(G\) est une forme linéaire positive \(\varphi\) sur \(C\) telle que \(\varphi(_sf) = \varphi(f)\) (resp. \(\varphi(f_s) = \varphi(f)\) pour tout \(s\in G\), et \(\varphi(1)=1\). L’A. donne un critère nécessaire et suffisant pour qu’il existe sur \(G\) une moyenne invariante à gauche (resp. invariante à la fois à droite et à gauche).
Il applique d’abord ce critère pour retrouver certains résultats de J. von Neumann et A. Markov sur l’existence de moyennes sur des groupes topologiques de type particulier (en particulier les groupes abéliens ou compacts). Il montre ensuite qu’un discret \(G\) engendré par une famille d’éléments \(s\), satisfaisant aux relations \(s_i^{r_i}=e\), n’admet pas en général de moyenne invariante à gauche, les cas d’exception étant les groupes cycliques et le groupe engendré par deux éléments \(s_1, s_2\) de ’carré \(e\).
Il donne enfin diverses applications de ces résultats; en particulier, généralisant un résultat de B. Sz.-Nagy, il montre que si un groupe \(G\) possède une moyenne invariante à droite, toute représentaticin fortement continue et bornée de \(G\) par des opérateurs d’un espace de Hilbert est semblable à une représentation unitaire; il indique aussi, lorsque \(G\) est un semi-groupe discret de transformations d’un ensemble \(S\), des relations entre moyennes invariantes sur \(G\) et mesures (simplement additives) invariantes par \(G\) et définies sur \(S\).
Reviewer: Jean Dieudonné

MSC:
43A07 Means on groups, semigroups, etc.; amenable groups
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