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Algebraic matric groups and the Picard-Vessiot theory of homogeneous linear ordinary differential equations. (English) Zbl 0037.18701

Die Picard-Vessiotsche (PV) Theorie, die ein Analogon zur Galoisschen Theorie für lineare homogene, gewöhnliche Differentialgleichungen darstellt, stützte sich in ihrer bisherigen Entwicklung wesentlich auf die Theorie der Lieschen Gruppen. Hierdurch ergeben sich gewisse Mängel: Die Fragestellung der PV-Theorie ist eine rein algebraische. Durch den hauptsächlich analytischen Charakter der Lieschen Theorie wird aber diese rein algebraische Natur der Fragestellung stark verwischt. Das naturgemäße Instrument der PV-Theorie sind nicht die Lieschen Gruppen, sondern die algebraischen Matrixgruppen, die jedoch bisher nur als Spezialfälle Liescher Gruppen untersucht wurden.
Zunächst erweist es daher als notwendig, Struktursätze über algebraische Matrizengruppen auf rein algebraischer Grundlage zu entwickeln. Der Aufbau der PV-Theorie auf einer solchen algebraischen Theorie der Matrizengruppen begegnet dann gleichzeitig einem anderen Mangel: Vom algebraischen Standpunkt erscheint es als wünschenswert, die PV-Theorie sogleich für abstrakte Koeffizientenkörper zu entwickeln. In seiner einen sehr klaren Überblick vermittelnden Einleitung weist der Verf. schließlich noch darauf hin, daß in der klassischen PV-Theorie vielfach die Begriffe nicht mit der notwendigen Schärfe definiert sind. So wird als hervorstechendes Beispiel vom Verf. der Begriff ,,auflösbar durch Quadraturen” angeführt, der innerhalb eines Beweises in zweierlei Bedeutung verwandt wurde.
Die vorliegende Arbeit des Verf. setzt sich als Ziel, die PV-Theorie im Anschluß an die Ergebnisse von J. F. Ritt zu algebraisieren, ihre Begriffe scharf zu fassen und sie auf abstrakte Koeffizientenkörper auszudehnen. Entsprechend den oben angegebenen Gesichtspunkten gliedert sich die Arbeit in ein Kapitel über algebraische Matrizengruppen und in vier weitere Kapitel über die Galoissche Theorie differenzierbarer Körper. Unter ihnen befassen sich die beiden letzten Kapitel mit speziellen differenzierbaren Körpererweiterungen, den Picard-Vessiotschen und den Liouvilleschen Erweiterungen. Für den letzten Typ werden im V. Kapitel bemerkenswerte und abgerundete Struktursätze hergeleitet. Aus der großen Stofffülle können hier nur die wesentlichsten Ergebnisse in einer kurzen Inhaltsübersicht zusammengestellt werden.
Kap. I: Die Matrizen einer Matrizengruppe \(\mathfrak G\) vom Grade \(n\) über einem algebraisch abgeschlossenen Körper beliebiger Charakteristik können aufgefaßt werden als Punkte des \(n^2\)-dimensionalen affinen Raumes. Die Matrizengruppe heißt algebraisch, wenn ihre Elemente in diesem Sinne umkehrbar eindeutig den Punkten einer algebraischen Mannigfaltigkeit entsprechen (abgesehen von den Punkten, denen singuläre Matrizen entsprechen). Diese algebraische Mannigfaltigkeit ist in bestimmtem Sinne eindeutig und heißt die zu \(\mathfrak G\) zugeordnete Mannigfaltigkeit. Ihr definierendes Ideal heißt auch definierendes Ideal von \(\mathfrak G\). Die irreduziblen Komponenten der zugeordneten Mannigfaltigkeit einer algebraischen Matrizengruppe \(\mathfrak G\) sind (bis auf singuläre Matrizen) paarweise fremd und alle von derselben Dimension. Die irreduzible Komponente, die den der Einheitsmatrix zugeordneten Punkt enthält, ist die zugeordnete Mannigfaltigkeit eines algebraischen Normalteilers \(\mathfrak G^0\) von \(\mathfrak G\) (Einheitskomponente) von endlichem Index. \(\mathfrak G\) heißt zusammenhängend, wenn \(\mathfrak G=\mathfrak G^0\) (d.h. die zugeordnete Mannigfaltigkeit ist irreduzibel). Für algebraische Matrizengruppen wird der Begriff der Normalreihe definiert und der Satz von Jordan-Hölder-Schreier bewiesen. Ferner wird die Auflösbarkeit einer algebraischen Matrizengruppe in üblicher Weise definiert. Betrachtet man in einer algebraischen Matrizengruppe \(\mathfrak G\) die Elemente endlicher Ordnung \(>1\), so heißt \(\mathfrak G\) antikompakt, wenn die Ordnung jedes solchen Elements durch die Charakteristik des Körpers teilbar ist. \(\mathfrak G\) heißt quasikompakt, wenn keine algebraische Untergruppe (außer der Einheitsmatrix selbst) antikompakt ist. \(\mathfrak G\) ist genau dann antikompakt, wenn alle Matrizen aus \(\mathfrak G\) nur charakteristische Wurzeln \(=1\) haben. \(\mathfrak G\) ist quasikompakt genau dann, wenn sich jede Matrix aus \(\mathfrak G\) auf Diagonalform bringen läßt. Es folgen einige Sätze darüber, wann \(\mathfrak G\) simultan auf Dreiecks- bzw. Diagonalform gebracht werden kann. Schließlich werden noch Gruppen mit speziellen Normalreihen untersucht.
Kap. II gibt eine Zusammenstellung von Sätzen und Begriffen aus der Rittschen Theorie der algebraischen Differentialgleichungen in einem Umfang, der den Bedürfnissen der folgenden Kapitel entspricht. Um die Ausdrucksweise abzukürzen, soll jetzt stets unter Körper, Ring, Ideal usw. ein differenzierbarer Körper, differenzierbarer Ring usw. verstanden werden.
Kap. III wird ein kurzer, sehr allgemein gehaltener Überblick über die Galoissche Theorie eines Körpers \(G\) über einem Unterkörper \(F\) der Charakteristik Null gegeben. Eine Menge \(\mathfrak M\) von Isomorphismen von \(G\) über \(F\) heißt ,,abundant”, wenn für jeden Zwischenkörper \(H\) und jedes \(\alpha\in G\setminus H\) ein Isomorphismus in \(\mathfrak M\) existiert, der \(F\) elementweise fest läßt, \(\alpha\) aber auf ein anderes Element abbildet. \(G\) heißt normal über \(F\), wenn die Menge aller Automorphismen von \(G\) über \(F\) abundant ist. Ist \(\mathfrak G\) eine ,,abundant” Gruppe von Automorphismen von \(G\) über \(F\), so läßt sich in üblicher Weise eine eineindeutige Zuordnung zwischen allen Zwischenkörpern \(H\) und gewissen (nicht allen) Untergruppen \(\mathfrak G(H)\) von \(G\) herstellen. Eine nicht-triviale Charakterisierung dieser Untergruppen ist jedoch bei dieser Allgemeinheit Verf. bisher nicht möglich. Indessen wird eine solche für spezielle Körpererweiterungen im folgenden Kapitel gegeben. Die Heranziehung der ,,abundant” Gruppen an Stelle der vollen Automorphismengruppen ist durch die Tatsache begründet, daß auch bei Verwendung der vollen Automorphismengruppen für Normalteiler \(\mathfrak(H)\) die Faktorgruppe \(\mathfrak G/\mathfrak G(H)\) nur isomorph ist zu einer ,,abundant” Gruppe von Automorphismen von \(H\) über \(F\) (nicht zur vollen Gruppe dieser Automorphismen).
Kap. IV beschäftigt sich mit dem wesentlichen Spezielfall, daß \(G\) eine Picard-Vessiotsche (PV)-Erweiterung von \(F\) ist. Dabei heißt \(G\) eine PV-Erweiterung von \(F\), wenn \(G\) aus \(F\) durch Adjunktion eines Fundamentalsystems von Lösungen einer homogenen, linearen, gewöhnlichen Differentialgleichung mit Koefffizienten aus \(F\) hervorgeht und wenn zweitens der Konstantenkörper von \(G\) mit dem Konstantenkörper \(C\) von \(F\) übereinstimmt. Ist \(n\) die Ordnung der erwähnten Differentialgleichung, so ist die Gruppe \(\mathfrak G\) aller Automorphismen von \(G\) über \(F\) isomorph zu einer algebraischen Matrizengruppe vom Grade \(n\) über \(C\). (\(C\) wird durchgehend als algebraisch abgeschlossen vorausgesetzt.) Jede PV-Erweiterung ist normal uber \(F\). \(\mathfrak G/\mathfrak G(H)\) ist hier mit der Gruppe aller Automorphismen von \(H\) uber \(F\) isomorph. Die den Zwischenkörpern zugeordneten Untergruppen von \(\mathfrak G\) sind genau die algebraischen Untergruppen von \(\mathfrak G\). Schließlich wird noch der Zusammenhang zwischen der Zerfällung der Differentialgleichung und der Reduzibilität von \(\mathfrak G\) untersucht.
Wesentliche Strukturergebnisse werden endlich im V. Kapitel für Liouvillesche Erweiterungen gewonnen; das sind solche Erweiterungen, die aus \(F\) durch sukzessive Adjunktionen von Integralen, Exponentialen von Integralen und von algebraischen Funktionen hervorgehen und \(C\) ebenfalls als Konstantenkörper besitzen. Je nachdem, ob bei der Erweiterung alle angegebenen drei Möglichkeiten benutzt werden, oder nur gewisse von ihnen, teilt Verf. die Liouvilleschen Erweiterungen in 10 (sich teilweise umfassende) Typen ein. Jede Liouvillesche Erweiterung ist in einer Liouvilleschen Erweiterung enthalten, die sich durch normale Körpererweiterungen aufbauen läßt. Unter den zu PV-Erweiterungen \(G\) gehörenden Automorphismengruppen \(\mathfrak G\) lassen sich ebenfalls 10 Typen aussondern derart, daß \(G\) genau genau dann in einer Liouvilleschen Erweiterung vom Typ 1–10 enthalten ist, wenn \(\mathfrak G\) dem entsprechenden Gruppentypus angehört. Die Gruppentypen werden charakterisiert durch Auflösbarkeit, Antikompaktheit, Quasikompaktheit und Endlickeit von \(\mathfrak G\) und \(\mathfrak G^0\). Im Anschluß an dieses Ergebnis lassen sich einige interessante Folgerungen ziehen. So kann z. B. jede Liouvillesche Erweiterung auch so gewonnen werden, daß man zunächst eine rein algebraische Erweiterung vornimmt und dann Erweiterungen lediglich mit Integralen und Exponentialen von Integralen anschließt.

MSC:

12H05 Differential algebra
20G15 Linear algebraic groups over arbitrary fields
20G07 Structure theory for linear algebraic groups
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