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On the theory of functions in a valued field. I, II. (Sur la théorie des fonctions dans un corps valué. I, II.) (French) Zbl 0037.30703

I. Es sei \(K\) ein kommutativer Körper mit einer reellen Bewertung \(\vert\ldots\vert\). \(K\) heißt formal-komplex, wenn er in bezug auf diese Bewertung perfekt ist und außerdem \(\delta(n) = \omega(n)\) für eine unendliche Anzahl von \(n\) gilt, wo \[ \delta(n) = \sup_{\vert x\vert\le 1}\vert \det(x_{ij})\vert, \quad \omega(n) = \lim_{\varepsilon\to 0} \left( \sup_{1-\varepsilon\le\vert x\vert\le 1} \prod \vert xh - x_k\vert\right). \] Verf. betrachtet Taylorsche Reihen von Funktionen eines formal-komplexen Körpers \(K\), beweist das Analogon der Cauchyschen Koeffizientenabschätzungsformel, und erhält einen Satz über die Taylorschen Reihen von Grenzwerten gleichmäßig konvergenter Funktionenfolgen.
Ein interessanter Satz ist der folgende: die formal-komplexen Körper sind genau die Körper von komplexen Zahlen und die nicht-archimedisch bewerteten, perfekten Körper, die nicht kompakt im kleinen sind.
Nennt man einen perfekt bewerteten Körper formal-reell, wenn die für \(\vert x\vert\le 1\) stetigen Funktionen als Grenzwerte gleichmäßig konvergenter Polynome darstellbar sind; so gilt der Satz, daß jeder perfekt bewertete Körper entweder formal-reell oder formal-komplex ist. Der letzte Satz bezieht sich auf die Vollständigkeit des Funktionensystems \(x^n\) \((n=0, 1, \ldots)\).


II. Ist \(f(x)\) eine Funktion, definiert für komplexe Zahlen mit Werten in einem Banachschen Raum über dem komplexen Zahlkörper \(\mathbb C\), und als eine Reihe \[\sum a_{yh} (x - y)^h\] in der Umgebung von jedem \(y\) mit \(\vert y\vert < r \le+\infty\) darstellbar, so ist sie einer für \(\vert x\vert < r\) konvergenten Reihe \(\sum a_hx^h\) gleich. Für jeden formal-komplexen Körper \(K\) gilt der Satz : wenn \(f(x) = \sum a_hx^h\) (mit Koeffizienten in einem Banachschen Raum über \(K\)) für jedes \(x\) konvergiert und beschränkt bleibt, so ist es eine Konstante.
Aus diesem Resultat folgt, daß für jede perfekte, normierte, ein Einselement besitzende Algebra über \(\mathbb C\) ein \(\lambda\in\mathbb C\) existiert, so daß \(a_0+a_1\lambda+ \cdots+\lambda^n\) \((a_i\in A\) kein Inverses in \(A\) hat. Setzt man nun voraus, daß \(A\) ein Körper ist, so gilt \(A = \mathbb C\), und man erhält als Nebenresultat, daß \(\mathbb C\) algebraisch abgeschlossen ist.
Weiter werden die Fragen der analytischen Fortsetzung erörtert und einige Anwendungen gegeben, auf die wir hier nicht näher eingehen wollen.

MSC:

12J10 Valued fields
12D15 Fields related with sums of squares (formally real fields, Pythagorean fields, etc.)
12J20 General valuation theory for fields
12J25 Non-Archimedean valued fields
12J27 Krasner-Tate algebras
30G06 Non-Archimedean function theory
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