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A simple proof that \(\pi\) is irrational. (English) Zbl 0037.31404
Es sei \(f(x) = [x(a-b x)]^n/n!\) und \(J = \int_0^\pi f(x)\sin x\,dx\). Bei festen \(m\) läßt sich \(J\) partiell integrieren, und man sieht leicht, daß, wäre \(\pi = a/b\) mit ganzem \(a\) und \(b\), \(J\) eine ganze Zahl sein müßte. Für genügend großes \(n\) ergibt eine kleine Abschätzung \(0< J < 1\), womit der Widerspruch erreicht ist. Wesentlich kürzer und einfacher dürfte sich die Irrationalität kaum beweisen lassen.
Vgl. nachstehende Besprechung der Arbwit von J. F. Koksma [Nieuw Arch. Wiskd., II. Ser. 23, 39 (1949; Zbl 0037.31405)].

MSC:
11J72 Irrationality; linear independence over a field
Citations:
Zbl 0037.31405
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