Karlin, S.; Shapley, L. S. Some applications of a theorem on convex functions. (English) Zbl 0038.10202 Ann. Math. (2) 52, 148-153 (1950). Ist \(A\) eine beschränkte abgeschlossene konvexe Punktmenge im \(E^n\), \(\varPhi_i| A\), \(i\in \mathfrak j\), ein System von stetigen, konvexen, auf \(A\) erklärten Funktionen mit \(\mathrm{inf}_{x\in A}\mathrm{sup}_{i\in \mathfrak j}\varPhi_i(x)>0\), so gibt es \(n+1\) Funktionen des Systems, \(\varPhi_k\), und \(n+1\) nicht negative Zahlen, \(\xi_k\), \(k=1,2,\dots ,n+1\), mit \(\Sigma_k \xi_k=1\) und \(\mathrm{inf}_{x\in A}\Sigma_k \xi_k\varPhi_k(x)>0\). Damit beweisen Verff. den bekannten Satz von Helly über konvexe Körper im \(E^n\), ferner die folgenden Sätze: 1. Sind die \(C_i,i\in \mathfrak j\), beschränkte abgeschlossene konvexe Mengen im \(E^n\), von welchen je \(n\) einen nicht leeren Durchschnitt haben, so gibt es durch jeden vorgegebenen Punkt eine Gerade, die jedes \(C_i\) trifft. 2. Sind \((x_k,y_k), k=1,\dots ,m\), endlich viele Punkte in der \((x,y)\)-Ebene, ferner \(f_i| E^1\), \(i\in \mathfrak j\), irgendwelche Funktionen der Variablen \(x\) von der Art, daß je \(n+1\) dieser Punkte durch eine Linearkombination \(f=\alpha_{i_1}f_{i_1}+\dots +\alpha_{i_n}f_{i_n}\) von \(n\) Funktionen mit einem Fehler \(\leqq \delta\) darstellbar sind (d.h. \(| y_k-f(x_k)| \leqq \delta\)), so gibt es eine solche Linearkombination, welche alle Punkte mit einem Fehler \(\leqq \delta\) darstellt. Mit leichter Einschränkung ist der Satz ausdehnbar auf unendlich viele Punkte \((x_k,y_k)\) und liefert dann interessante Beispiele. Schließlich wird der folgende Überdeckungssatz bewiesen: Wird die \((n-1)\)-Sphäre im \(E^n\) von einer kompakten Familie von abgeschlossenen Halbsphären überdeckt, so tun dies bereits \(n+1\) dieser Halbsphären. Reviewer: Aumann Page: −5 −4 −3 −2 −1 ±0 +1 +2 +3 +4 +5 Show Scanned Page Cited in 5 Documents Keywords:Metric geometry, convex geometry, integral geometry × Cite Format Result Cite Review PDF Full Text: DOI Link