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The geometry of the zeros of a polynomial in a complex variable. (English) Zbl 0038.15303
Mathematical Surveys. No. 3. New York: American Mathematical Society (AMS). viii, 183 p. (1949).
Der Problemkreis, dessen ausführliche Behandlung diese Monographie sich zum Ziele gesetzt hat, ist, wie der Titel schon sagt, die Geometrie der Nullstellen der komplexen Polynome in einer Veränderlichen, also die analytische Theorie der komplexen Polynome oder Gleichungen. Das Grundproblem in seinen vielfältigen Variationen ist die Untersuchung der Lage der Nullstellen eines Polynoms in der Zahlenebene in ihrer Abhängigkeit von mannigfachen Parametern, seien es die Koeffizienten des Polynoms selbst oder die Koeffizienten oder Nullstellen anderer zugeordneter Polynome. Haben die Parameter gewisse vorgeschriebene Variationsbereiche in der Zahlenebene, so sind etwa die entsprechenden Variationsbereiche der Nullstellen des Polynoms zu untersuchen oder zumindest in ihrer Lage möglichst gut einzuschränken, oder aber es wird die Aufgabe gestellt, welche Variationsbereiche für die Parameter zugelassen seien, um sicher zu gehen, daß das vorgegebene Polynom eine bestimmte Anzahl von Nullstellen in einem vorgegebenen Bereich besitze. Alle derartigen Problemstellungen, deren Lösungen in einer fast unübersehbaren Fülle von Varianten allenthalben in der mathematischen Literatur verstreut sind, zusammenzufassen, aus ihren gemeinsamen Quellen zu entwickeln und darzustellen, hat sich Verf. zur Aufgabe gemacht. Das Ergebnis seiner Bemühungen ist die vorliegende Monographie, die in wirklich erschöpfender Ausführlichkeit und Vollständigkeit alle diese Fragen behandelt, ausgehend von einfachsten Prinzipien, die der elementaren Funktionentheorie entnommen sind. Dabei ist wohl kaum etwas übersehen worden, was dem Problemkreis angehört, und doch macht die Durchführung und Darstellung trotz der Vielfalt der Aufgaben den Eindruck des Geschlossenen und Abgerundeten, wie es besser nicht erwartet werden kann. Über den Inhalt, den in seiner Fülle im Rahmen eines Referates völlig zu erfassen unmöglich ist, mag der nachfolgende Überblick, den einzelnen Kapiteln des Buches folgend, unterrichten:
1. Introduction.
Das einleitende Kapitel stellt diejenigen Sätze zusammen, die als Grundlage für alles Weitere dienen sollen, so das Prinzip vom Argument, den Satz von Rouche, den Satz von Hurwitz über die Nullstellen einer gleichmäßig konvergierenden Folge analytischer Funktionen, und beginnt dann mit den verschiedenen (geometrischen, physikalischen, funktionentheoretischen) Deutungen der Nullstellen der Ableitung (critical points) eines Polynoms.
II. The critical points of a polynomial and some of their generalizations.
Das zweite Kapitel beschäftigt sich mit der relativen Lage der kritischen Punkte zu den Nullstellen eines Polynoms, in großer Ausführlichkeit mit einer Reihe von Verallgemeinerungen: Der Satz von Gauß-Lucas mit seinen Verfeinerungen für reelle Polynorne (Satz von Jensen), der auch für beliebige Funktionen \(F(z)=\sum_{\nu=1}^n\frac{m_\nu}{z-z_\nu}\) \((m_\nu >0\), nicht notwendig ganz) ausgesprochen werden kann, Verallgemeinerung auf beliebige Funktionen \(F(z)= \sum_{\nu=1}^n m_\nu f_\nu(z)\) mit rationalen Funktionen \(f_\nu(z)\), schließlich Anwendung auf spezielle Polynomklassen (Polynomlösungen der Laméschen Differentialgleichung, Hermitesche und Legendresche Polynome).
III. Invariantive formulation.
Da der Satz von Gauß-Lucas nicht invariant ist gegenüber jeder linearen Transformation der Veränderlichen, sucht das dritte Kapitel eine invariante Formulierung des Satzes und führt so zur polaren Ableitung (polar derivative) eines Polynoms (die Ableitung des Polynoms in bezug auf einen Aufpunkt von Polya-Szegő) und den Eigenschaften ihrer Nullstellen (Satz von Laguerre für die höheren polaren Ableitungen).
IV. Composite polynomials.
Das vierte Kapitel entwickelt zunächst die Sätze über apolare Polynome (Satz von Grace) mit den Szegőschen Folgerungen für komponierte Poiynome \(\sum_\nu \binom{n}{\nu}a_\nu b_\nu z^\nu\) aus den Polynomen \(\sum_\nu \binom{n}{\nu}a_\nu z^\nu\) und \(\sum_\nu \binom{n}{\nu}b_\nu z^\nu\), an die sich die Untersuchung der linearen Kombinationen von Polynomen anschließt mit ihrer umfangreichen Reihe von Ergebnissen.
V. The critical points of a rational function which has its zeros and poles in prescribed circular regions.
Der Problemkreis des fünften Kapitels wird durch seine Überschrift bereits hinreichend gekennzeichnet. Im Vordergrund steht der Zwei-Kreise-Satz von Walsh mit seinen Verallgemeinerungen auf rationale Funktionen und auf einen Mehr-Kreise-Satz mit einer Reihe spezieller Fassungen.
VI. The critical points of a polynomial which has only some prescribed zeros.
Der einfachste und älteste Satz, der dem Gedankenkreis des sechsten Kapitels angehört, ist das Rollesche Theorem, das aus der Existenz zweier reeller Nullstellen eines Polynoms auf die Existenz wenigstens eines kritischen Punktes zwischen ihnen schließen läßt. Seiner Verallgemeinerung auf das komplexe Gebiet (Satz von Grace-Heawood) folgen eine Reihe von Sätzen (z. T. vom Verf. selbst), die aus der Lage einiger Nullstellen des Polynoms auf die Lage einiger kritischer Punkte schließen lassen.
VII. Bounds for the zeros as functions of all the coefficients.
Das siebente Kapitel hat eine wohl erschöpfende Behandlung des Problems zum Inhalt, die absoluten Beträge der Nullstellen (oder eines Teils von ihnen) durch die Koeffizienten des Polynoms abzuschätzen. Neben den fast zahllosen Schranken für alle Nullstellen werden u. a. auch der Satz von Pellet mit seinen Verfeinerungen (von Lipka und Verf.) und eine Reihe von Anwendungen behandelt.
VIII. Bounds for \(p\) zeros as functions of \(p+1\) coefficients.
Darüber hinausgehend behandelt das achte Kapitel mit der durch die Überschrift gekennzeichneten Aufgabe in zahlreichen Abwandlungen die Ergebnisse über Lückenpolynome in großer Ausführlichkeit.
Die beiden letzten Kapitel schließlich:
IX. The number of zeros in a half-plane or sector.
X. The number of zeros in a given circle.
beschäftigen sich mit der Abzählung der Nullstellen eines Polynoms in einem vorgeschriebenen Bereich der Zahlenebene (Cauchyscher Index, Sturmsche Kette, Hurwitzsches Kriterium, Sätze von Schoenberg, Obrechkoff und anderen, Algorithmus von A. Cohn für die Anzahl der Nullstellen im Einheitskreis, das zum Kriterium von I. Schur-A. Cohn führt).
Diese kurze Darstellung des Inhaltes kann nur in großen Zügen einen Begriff von der Fülle der Probleme und Aufgaben geben, die in diesem Buche behandelt werden. Besondere Erwähnung verdienen noch die große Reihe von Aufgaben, die den einzelnen Kapiteln zugeteilt sind und oft genug spezielle Ergebnisse aus der Literatur aufgreifen und zur Diskussion stellen und damit zu einer erschöpfenden Vollständigkeit das Ihre beitragen, vor allem aber die ausführliche Bibliographie, in der wohl nur wenige wesentliche Arbeiten über den behandelten Gegenstand aus den letzten 50 Jahren fehlen dürften.

MSC:
30C15 Zeros of polynomials, rational functions, and other analytic functions of one complex variable (e.g., zeros of functions with bounded Dirichlet integral)
30C10 Polynomials and rational functions of one complex variable
30-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to functions of a complex variable